Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045615

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045615

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой $A(\tau)=k\theta_0\frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}$. Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0\lt n\lt 0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}2$ с?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Предположим положительный постоянный множитель $k\theta_0$, соответствующий ненулевой амплитуде. После деления выражения под корнем на $\tau^4$ амплитуда имеет вид $k\theta_0/\sqrt{Q}$, где $Q=(T^2/\tau^2)^2+(n-2)T^2/\tau^2+1$.

Обозначим $u=T^2/\tau^2\gt0$. Величина $Q=u^2-(2-n)u+1$ — квадратный трёхчлен. Его график направлен вверх, вершина имеет абсциссу $u=(2-n)/2$.

Убедимся, что это допустимый минимум: при $0\lt n\lt0{,}5$ вершина находится на положительной полуоси, а $Q_{min}=1-(2-n)^2/4=n(4-n)/4\gt0$.

При минимальном положительном знаменателе амплитуда максимальна. Из $T^2/\tau^2=(2-n)/2$ получаем $\tau=T\sqrt{2/(2-n)}$. С учётом $T=14{,}2$ ответ равен $14{,}2\sqrt{2/(2-n)}$ с.

Проверим производной исходного отношения после замены $x=\tau^2/T^2$: производная $x^2/(x^2+(n-2)x+1)$ имеет знак $2-(2-n)x$. Он меняется с плюса на минус при $x=2/(2-n)$, что подтверждает максимум.

Ответ

$\tau=14{,}2\sqrt{\frac2{2-n}}$ с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)