Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045614

Множитель $k\theta_0$ не зависит от периода. Для положительной амплитуды максимум можно искать по квадрату оставшейся части формулы: возведение положительных чисел в квадрат сохраняет их порядок.

Разделим выражение под корнем на $\tau^4$ и введём $u=T^2/\tau^2\gt0$. Тогда

$$A^2=\frac{(k\theta_0)^2}{(u-1)^2+nu}=\frac{(k\theta_0)^2}{u^2+(n-2)u+1}.$$

Числитель постоянен, поэтому амплитуда максимальна при наименьшем положительном знаменателе. Выделим в нём полный квадрат:

$$u^2+(n-2)u+1=\left(u-\frac{2-n}{2}\right)^2+1-\frac{(2-n)^2}{4}.$$

Квадрат неотрицателен и становится нулём при $u=(2-n)/2$. Это допустимое положительное значение, поскольку $0\lt n\lt0{,}5$. Оставшееся слагаемое $n(4-n)/4$ также положительно, поэтому знаменатель не обращается в нуль.

Вернёмся к периоду: $T^2/\tau^2=(2-n)/2$, откуда $\tau=T\sqrt{2/(2-n)}$. При $T=14{,}4$ с получаем $\tau=14{,}4\sqrt{2/(2-n)}$ с.

Проверим производной знаменателя по $u$: $2u+n-2$ меняет знак с минуса на плюс в найденной точке. Это единственный минимум знаменателя и единственный максимум амплитуды при ненулевом положительном множителе $k\theta_0$.