Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045605

Для корня требуется $x\ge0$. Знаменатель не равен нулю: $2^{2x+1}\ne64$, то есть $x\ne5/2$.

Перенесём двойку в левую часть. Так как $4^{x+1}=4\cdot4^x$ и $2^{2x+1}=2\cdot4^x$, показательные слагаемые в числителе разности дают ноль. Получаем

$$\frac{x-13\sqrt x+36}{2\cdot4^x-64}\le0.$$

Числитель раскладывается как $(\sqrt x-4)(\sqrt x-9)$. Он положителен на $[0;16)$ и $(81;+\infty)$, отрицателен на $(16;81)$ и равен нулю в 16 и 81.

Знаменатель отрицателен при $x\lt5/2$ и положителен при $x\gt5/2$. Значит, знаки дроби по промежуткам с границами $0,5/2,16,81$ таковы: минус, плюс, минус, плюс.

Нестрогое неравенство даёт $[0;5/2)\cup[16;81]$. Нули числителя включены, нуль знаменателя исключён.

Проверим $x=0$: исходная дробь $(4-92)/(2-64)=88/62\lt2$. При $x=16$ и 81 преобразованная дробь нулевая, следовательно, исходная равна 2.