Пусть t=2^x, t>0; тогда 4^x=t^2 и 3 \cdot 2^{x+1}=6t. Неравенство: \dfrac{t^2-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-46}{t-8} \leqslant t+5.

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (t-5)(t-8). Считаем числитель по частям: (t^2-6t+4)(t-8) = t^3-14t^2+52t-32; далее (6t-46)(t-5) = 6t^2-76t+230; и вычитаемое (t+5)(t-5)(t-8) = (t^2-25)(t-8) = t^3-8t^2-25t+200.

Складываем: кубы уходят (t^3-t^3=0); квадраты: -14+6+8=0; коэффициент при t: 52-76+25=1; свободные члены: -32+230-200=-2. От громоздкого выражения осталась крошка: числитель равен t-2.

Итак, \dfrac{t-2}{(t-5)(t-8)} \leqslant 0. Метод интервалов: t=2 закрашена (ноль числителя), t=5 и t=8 выколоты. При t>8 — «плюс», на (5;\ 8) — минус, на (2;\ 5) — плюс, на (0;\ 2) — минус. Нужны «минус» и ноль: t \in (0;\ 2] \cup (5;\ 8).

Обратная замена (функция 2^x возрастает): 2^x \leqslant 2 даёт x \leqslant 1; далее 5<2^x<8 даёт \log_2 5 < x < 3, ведь 8=2^3.

Проверим x=1 (то есть t=2): слева \dfrac{4-12+4}{2-5}+\dfrac{12-46}{2-8} = \dfrac{-4}{-3}+\dfrac{-34}{-6} = \dfrac{4}{3}+\dfrac{17}{3} = 7, справа 2+5=7 — равенство, точка входит. Всё сходится.