Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022312

Пусть $t=2^x$, $t>0$; тогда $4^x=t^2$ и $3 \cdot 2^{x+1}=6t$. Неравенство: $\dfrac{t^2-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-46}{t-8} \leqslant t+5$.

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю $(t-5)(t-8)$. Считаем числитель по частям: $(t^2-6t+4)(t-8) = t^3-14t^2+52t-32$; далее $(6t-46)(t-5) = 6t^2-76t+230$; и вычитаемое $(t+5)(t-5)(t-8) = (t^2-25)(t-8) = t^3-8t^2-25t+200$.

Складываем: кубы уходят ($t^3-t^3=0$); квадраты: $-14+6+8=0$; коэффициент при $t$: $52-76+25=1$; свободные члены: $-32+230-200=-2$. От громоздкого выражения осталась крошка: числитель равен $t-2$.

Итак, $\dfrac{t-2}{(t-5)(t-8)} \leqslant 0$. Метод интервалов: $t=2$ закрашена (ноль числителя), $t=5$ и $t=8$ выколоты. При $t>8$ — «плюс», на $(5;\ 8)$ — минус, на $(2;\ 5)$ — плюс, на $(0;\ 2)$ — минус. Нужны «минус» и ноль: $t \in (0;\ 2] \cup (5;\ 8)$.

Обратная замена (функция $2^x$ возрастает): $2^x \leqslant 2$ даёт $x \leqslant 1$; далее $5<2^x<8$ даёт $\log_2 5 < x < 3$, ведь $8=2^3$.

Проверим $x=1$ (то есть $t=2$): слева $\dfrac{4-12+4}{2-5}+\dfrac{12-46}{2-8} = \dfrac{-4}{-3}+\dfrac{-34}{-6} = \dfrac{4}{3}+\dfrac{17}{3} = 7$, справа $2+5=7$ — равенство, точка входит. Всё сходится.