Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042148

Слева корень, справа — выражение с $5^x$. Сделаем замену $t=5^x$ и решим стандартное неравенство «корень не больше выражения».

Пусть $t=5^x$, $t\gt 0$. Так как $5^{2x+1}=5\cdot(5^x)^2=5t^2$, неравенство принимает вид

$$\sqrt{5t^2-4t+7}\leq 3-t.$$

Неравенство $\sqrt{A}\leq B$ равносильно системе трёх условий: подкоренное выражение неотрицательно ($A\geq 0$), правая часть неотрицательна ($B\geq 0$, ведь корень не бывает отрицательным) и $A\leq B^2$ (обе части неотрицательны, их можно возвести в квадрат).

Первое условие: у трёхчлена $5t^2-4t+7$ дискриминант $D=16-4\cdot 5\cdot 7=16-140=-124\lt 0$, а старший коэффициент положителен. Значит, $5t^2-4t+7\gt 0$ при всех $t$ — условие выполняется само.

Второе условие: $3-t\geq 0$, то есть $t\leq 3$.

Третье условие:

$$5t^2-4t+7\leq(3-t)^2=9-6t+t^2.$$

Переносим всё влево: $4t^2+2t-2\leq 0$, делим на $2$: $2t^2+t-1\leq 0$.

Корни трёхчлена $2t^2+t-1$: $D=1+8=9$, $t=\dfrac{-1\pm 3}{4}$, то есть $t=\dfrac12$ и $t=-1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между корнями: $-1\leq t\leq\dfrac12$.

Собираем всё вместе с $t\gt 0$: $0\lt t\leq\dfrac12$ (условие $t\leq 3$ при этом выполнено).

Возвращаемся к $x$: $5^x\leq\dfrac12$. Основание $5$ больше единицы, функция возрастает, поэтому, логарифмируя по основанию $5$, знак сохраняем: $x\leq\log_5 0{,}5$. Условие $5^x\gt 0$ выполнено всегда.

Проверим себя. При $x=-1$ ($t=0{,}2$): слева $\sqrt{5\cdot 0{,}04-0{,}8+7}=\sqrt{6{,}4}\approx 2{,}53$, справа $2{,}8$ — верно, а $-1\lt\log_5 0{,}5\approx -0{,}43$. При $x=0$ ($t=1$): слева $\sqrt{8}\approx 2{,}83$, справа $2$ — неверно, и $0$ в ответ не входит.