Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045604

Сначала определим допустимые значения. Под корнем стоит $x$, поэтому $x\ge0$. Знаменатель не должен обращаться в нуль: $4^x\ne8$, то есть $x\ne3/2$.

Перенесём двойку в левую часть и объединим выражения в одну дробь. Поскольку $2^{2x+1}=2\cdot4^x$, получаем

$$\frac{x-5\sqrt x+4}{4^x-8}\ge0.$$

Числитель — квадратный трёхчлен относительно $\sqrt x$: $x-5\sqrt x+4=(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)$. Он положителен при $0\le x\lt1$ и $x\gt16$, отрицателен при $1\lt x\lt16$, а в точках 1 и 16 равен нулю.

Функция $4^x$ возрастает. Поэтому знаменатель отрицателен при $x\lt3/2$ и положителен при $x\gt3/2$.

Сопоставим знаки: на $[0;1)$ дробь отрицательна; на $(1;3/2)$ положительна; на $(3/2;16)$ отрицательна; на $(16;+\infty)$ положительна. Точки 1 и 16 включаем, а $3/2$ исключаем из-за знаменателя.

Получили $[1;3/2)\cup[16;+\infty)$. Проверим, например, $x=4$: числитель преобразованной дроби $4-10+4=-2$, знаменатель положителен — точка не подходит, как и следует из найденных промежутков.