Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043729

Дробь должна быть не больше нуля. В числителе квадратный корень — он всегда неотрицателен. Значит, всё решает знаменатель, плюс отдельно случай, когда числитель равен нулю.

ОДЗ. Под корнем $4-x\ge0$, то есть $x\le4$. Знаменатель не равен нулю — это учтём позже.

Знаменатель. Показатели $x^2-5$ и $0{,}5x^2-4{,}5$ связаны: если взять $0{,}5x^2-2{,}5$, то его удвоение даёт $x^2-5$. Пусть

$$t=2^{0{,}5x^2-2{,}5},\qquad t\gt0.$$

Тогда $2^{x^2-5}=\left(2^{0{,}5x^2-2{,}5}\right)^2=t^2$. А показатель $0{,}5x^2-4{,}5$ на $2$ меньше, чем $0{,}5x^2-2{,}5$, поэтому $2^{0{,}5x^2-4{,}5}=t\cdot2^{-2}=\dfrac t4$.

Знаменатель:

$$t^2-\dfrac{17}{4}t+1=\dfrac14\left(4t^2-17t+4\right).$$

Корни $4t^2-17t+4=0$: $D=289-64=225$, $t=\dfrac{17\pm15}{8}$, то есть $t=4$ и $t=\dfrac14$. Значит,

$$4t^2-17t+4=4(t-4)\left(t-\dfrac14\right).$$

Знаменатель отрицателен, когда $\dfrac14\lt t\lt4$, и положителен вне этого промежутка.

Возвращаемся к $x$. $t=4=2^2$ при $0{,}5x^2-2{,}5=2$, то есть $x^2=9$. $t=\dfrac14=2^{-2}$ при $0{,}5x^2-2{,}5=-2$, то есть $x^2=1$. Функция $2^s$ возрастает, поэтому

$$\dfrac14\lt t\lt4\ \Longleftrightarrow\ -2\lt0{,}5x^2-2{,}5\lt2\ \Longleftrightarrow\ 1\lt x^2\lt 9.$$

Собираем. Дробь $\le0$ в двух случаях.

1) Числитель равен нулю: $x=4$. Знаменатель там не ноль ($x^2=16$, а нули знаменателя — при $x^2=1$ и $x^2=9$). Значит, $x=4$ подходит.

2) Числитель положителен ($x\lt4$), а знаменатель отрицателен: $1\lt x^2\lt9$, то есть $-3\lt x\lt-1$ или $1\lt x\lt3$. Оба промежутка лежат левее $4$.

Получаем $(-3;-1)\cup(1;3)\cup\{4\}$.

Проверим себя на $x=0$, который в ответ не вошёл. Знаменатель $2^{-5}-17\cdot2^{-4{,}5}+1\approx0{,}031-17\cdot0{,}044+1\approx0{,}28\gt0$, числитель $2\gt0$ — дробь положительна, неравенство не выполнено. Сходится.