Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043746

В показателях стоит $\sqrt x$. Обозначим $t=\sqrt x$ и вынесем из степеней числа — останутся степени $9^t$ и $12^t$, которые можно сравнить.

ОДЗ. $x\ge0$, $t\ge0$.

Разносим. $3^{2t}=9^t$, $3^{2t-10}=9^t\cdot3^{-10}$.

$6561=3^8$, $12^4=(4\cdot3)^4=2^8\cdot3^4$, поэтому $6561\cdot12^{t-4}=\dfrac{3^8}{2^8\cdot3^4}\cdot12^t=\dfrac{3^4}{2^8}\cdot12^t=\dfrac{81}{256}\cdot12^t$.

$16=2^4$, $12^6=2^{12}\cdot3^6$, поэтому $16\cdot12^{t-6}=\dfrac{2^4}{2^{12}\cdot3^6}\cdot12^t=\dfrac{1}{256\cdot729}\cdot12^t$.

Переносим $9^t$ вправо, $12^t$ — влево:

$$\left(\dfrac{81}{256}-\dfrac{1}{256\cdot729}\right)12^t\lt\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)9^t.$$

Посчитаем скобки. Левая: $\dfrac{81\cdot729-1}{256\cdot729}=\dfrac{59049-1}{256\cdot729}=\dfrac{59048}{256\cdot729}$. Правая: $3^{10}=59049$, $1-\dfrac{1}{59049}=\dfrac{59048}{59049}$.

У обеих скобок числитель $59048$ — делим на него обе части:

$$\dfrac{12^t}{256\cdot729}\lt\dfrac{9^t}{59049}.$$

Делим на $9^t\gt0$ и умножаем на $256\cdot729$:

$$\left(\dfrac{12}{9}\right)^t\lt\dfrac{256\cdot729}{59049}=\dfrac{256}{81}.$$

$\dfrac{12}{9}=\dfrac43$, а $\dfrac{256}{81}=\left(\dfrac43\right)^4$. Основание больше единицы:

$$t\lt4\ \Longleftrightarrow\ \sqrt x\lt4\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\lt16.$$

Проверим себя на $x=0$: слева $3^{-10}+\dfrac{6561}{20736}\approx0{,}316$, справа $1+\dfrac{16}{12^6}\approx1$ — неравенство верно. На $x=16$, $t=4$: слева $3^{-2}+6561=6561{,}11\ldots$, справа $3^8+\dfrac{16}{144}=6561{,}11\ldots$ — равенство, точка не входит.