Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042149

Уединим корень: перенесём $2^{x+1}$ вправо. Получится неравенство вида «корень не больше выражения», которое после замены $t=2^x$ решается стандартной системой.

$$\sqrt{2^{2x+1}-11\cdot 2^x+5}\leq 3-2^{x+1}.$$

Пусть $t=2^x$, $t\gt 0$. Тогда $2^{2x+1}=2\cdot(2^x)^2=2t^2$ и $2^{x+1}=2t$:

$$\sqrt{2t^2-11t+5}\leq 3-2t.$$

Это неравенство равносильно системе: $2t^2-11t+5\geq 0$ (корень определён), $3-2t\geq 0$ (корень неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа), $2t^2-11t+5\leq(3-2t)^2$ (возводим в квадрат неотрицательные части).

Первое условие. Корни трёхчлена $2t^2-11t+5$: $D=121-40=81$, $t=\dfrac{11\pm 9}{4}$, то есть $t=5$ и $t=\dfrac12$. Ветви вверх, трёхчлен неотрицателен вне промежутка между корнями: $t\leq\dfrac12$ или $t\geq 5$.

Второе условие: $2t\leq 3$, $t\leq\dfrac32$.

Третье условие:

$$2t^2-11t+5\leq 9-12t+4t^2\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leq 2t^2-t+4.$$

У трёхчлена $2t^2-t+4$ дискриминант $D=1-32=-31\lt 0$, ветви вверх — он положителен при любом $t$. Третье условие выполняется всегда.

Пересекаем первые два условия с $t\gt 0$. Ветвь $t\geq 5$ противоречит $t\leq\dfrac32$ и отпадает. Остаётся $0\lt t\leq\dfrac12$.

Возвращаемся к $x$: $2^x\leq\dfrac12=2^{-1}$. Функция $2^x$ возрастает, поэтому $x\leq -1$.

Проверим себя. При $x=-2$ ($t=0{,}25$): под корнем $2\cdot 0{,}0625-2{,}75+5=2{,}375$, корень $\approx 1{,}54$, плюс $2^{-1}=0{,}5$ — сумма $\approx 2{,}04\leq 3$, верно. При $x=-1$ ($t=0{,}5$): под корнем $0{,}5-5{,}5+5=0$, слева $0+1=1\leq 3$ — точка входит. При $x=-0{,}5$ подкоренное выражение отрицательно ($\approx -1{,}78$) — корень не определён.