Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043745

В каждом слагаемом показатель содержит $\sqrt x$. Если вынести из степеней числовые множители, останутся только две «переменные» степени — $4^{-\sqrt x}$ и $10^{-\sqrt x}$. Их и сравним.

ОДЗ. $x\ge0$.

Разносим множители. Пусть $s=\sqrt x\ge0$.

$2^{-2s}=4^{-s}$; $2^{9-2s}=2^9\cdot4^{-s}=512\cdot4^{-s}$;

$32\cdot10^{2-s}=32\cdot100\cdot10^{-s}=3200\cdot10^{-s}$; $625\cdot10^{-2-s}=\dfrac{625}{100}\cdot10^{-s}=\dfrac{25}{4}\cdot10^{-s}$.

Переносим слагаемые с $4^{-s}$ вправо, с $10^{-s}$ — влево:

$$\left(3200-\dfrac{25}{4}\right)10^{-s}\gt(512-1)\cdot4^{-s}\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{12775}{4}\cdot10^{-s}\gt511\cdot4^{-s}.$$

$12775=511\cdot25$ (проверим: $511\cdot25=12775$). Делим обе части на положительное число $511$:

$$\dfrac{25}{4}\cdot10^{-s}\gt4^{-s}.$$

Делим на положительное $10^{-s}$:

$$\dfrac{25}{4}\gt\left(\dfrac{10}{4}\right)^{s}=\left(\dfrac52\right)^s.$$

$\dfrac{25}{4}=\left(\dfrac52\right)^2$. Основание $\dfrac52\gt1$, функция возрастает, поэтому

$$s\lt2\ \Longleftrightarrow\ \sqrt x\lt2\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\lt4.$$

Проверим себя на $x=0$: слева $1+3200=3201$, справа $512+6{,}25=518{,}25$ — верно. На $x=4$: слева $\dfrac{1}{16}+32$, справа $\dfrac{512}{16}+\dfrac{625}{10^4}=32+0{,}0625$ — равенство, строгое неравенство не выполнено, точка не входит.