Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043730

Нужно, чтобы дробь была не меньше нуля. Числитель — квадратный корень, он неотрицателен. Поэтому подходят точки, где корень равен нулю (если знаменатель там не ноль), и точки, где знаменатель положителен.

ОДЗ. $x+5\ge0$, то есть $x\ge-5$.

Замена в знаменателе. Возьмём $t=2^{0{,}5x^2-3}$, $t\gt0$. Тогда $t^2=2^{x^2-6}$ — это первое слагаемое.

Показатель $0{,}5x^2-4{,}5$ на $1{,}5$ меньше, чем $0{,}5x^2-3$, поэтому

$$2^{0{,}5x^2-4{,}5}=t\cdot2^{-1{,}5}=\dfrac{t}{2\sqrt2},$$

ведь $2^{1{,}5}=2\cdot2^{0{,}5}=2\sqrt2$. Знаменатель:

$$t^2-\dfrac{9}{2\sqrt2}\,t+1.$$

Найдём корни. Дискриминант:

$$D=\dfrac{81}{8}-4=\dfrac{81-32}{8}=\dfrac{49}{8},\qquad\sqrt D=\dfrac{7}{2\sqrt2}.$$

$$t=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9}{2\sqrt2}\pm\dfrac{7}{2\sqrt2}\right):\qquad t_1=\dfrac{16}{4\sqrt2}=\dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2,\qquad t_2=\dfrac{2}{4\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}.$$

Запишем их степенями двойки: $2\sqrt2=2^{1{,}5}$, $\dfrac{1}{2\sqrt2}=2^{-1{,}5}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому знаменатель положителен при $t\lt2^{-1{,}5}$ или $t\gt2^{1{,}5}$ и отрицателен между корнями.

Возвращаемся к $x$. Так как $2^s$ возрастает, сравниваем показатели:

$t\gt2^{1{,}5}$ $\Longleftrightarrow$ $0{,}5x^2-3\gt1{,}5$ $\Longleftrightarrow$ $x^2\gt9$.

$t\lt2^{-1{,}5}$ $\Longleftrightarrow$ $0{,}5x^2-3\lt-1{,}5$ $\Longleftrightarrow$ $x^2\lt3$.

Знаменатель равен нулю при $x^2=9$ и $x^2=3$.

Собираем.

1) Числитель равен нулю: $x=-5$. Там $x^2=25$, знаменатель не ноль. Точка подходит.

2) $x\gt-5$ и знаменатель положителен: $x^2\lt3$ даёт $-\sqrt3\lt x\lt\sqrt3$; $x^2\gt9$ даёт $x\lt-3$ или $x\gt3$. Учитывая $x\gt-5$, из левой ветки остаётся $-5\lt x\lt-3$.

Вместе с точкой $-5$ получаем $[-5;-3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(3;+\infty)$.

Проверим себя на $x=2$ (между $\sqrt3$ и $3$, в ответ не входит). Знаменатель $2^{-2}-9\cdot2^{-2{,}5}+1\approx0{,}25-9\cdot0{,}177+1\approx-0{,}34\lt0$ — дробь отрицательна, неравенство не выполнено. Сходится.