Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00045586

В июле 2029 года Тимур планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 2150 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на $r\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

– к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $$r$$ , если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами по 1322,5 тыс. рублей.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Обозначим годовой множитель $q=1+\dfrac{r}{100}$ : каждый январь долг умножается на $$q$$ . Считать будем в тысячах рублей.

Удобно «вернуть» оба платежа к моменту выдачи кредита. Правило такое: раз долг за год умножается на $$q$$ , то сумма, которую заплатят через год, сегодня закрывает в $$q$$ раз меньший долг, а сумма через два года — в $$q^2$$ раз меньший. Действительно, долг $\dfrac{1322{,}5}{q}$ за один январь вырастает ровно до $$1322{,}5$$ , а долг $\dfrac{1322{,}5}{q^2}$ — за два января.

Два платежа вместе должны закрыть весь кредит, поэтому $2150=\dfrac{1322{,}5}{q}+\dfrac{1322{,}5}{q^2}$ . То же уравнение получится и прямым ходом по годам: после первого платежа остаётся $$2150q-1322{,}5$$ , а после второго — $$(2150q-1322{,}5)q-1322{,}5=0$$ .

Умножим на $$q^2$$ и разделим на $$2{,}5$$ : $$860q^2-529q-529=0$$ .

Дискриминант равен $529^2+4\cdot860\cdot529=2099601=1449^2$ . Поэтому $q=\dfrac{529\pm1449}{1720}$ .

Положительный корень $$q=1978:1720=1{,}15$$ ; отрицательный множитель не описывает начисление процентов. Следовательно, $$r=15$$ .

Проверим напрямую: $2150\cdot1{,}15-1322{,}5=2472{,}5-1322{,}5=1150$ тысяч остаётся после первого платежа. Во второй год $1150\cdot1{,}15=1322{,}5$ , так что долг закрывается.

Ответ

Другие задания по теме «Кредиты» (8)