Дисперсия и… — Задание 6 ЕГЭ по математике №00045489

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем значения величины отходят от её среднего. Считают его в три шага: среднее значение, затем дисперсия — средний квадрат отклонения, затем корень из дисперсии.

Среднее (математическое ожидание) — это сумма значений, умноженных на свои вероятности: $m=2\cdot0{,}2+4\cdot0{,}5+6\cdot0{,}3=0{,}4+2+1{,}8=4{,}2$.

Дисперсию удобно считать по правилу «среднее квадратов минус квадрат среднего». Сначала усредним квадраты значений с теми же вероятностями: $M(X^2)=2^2\cdot0{,}2+4^2\cdot0{,}5+6^2\cdot0{,}3=0{,}8+8+10{,}8=19{,}6$.

Теперь вычтем квадрат среднего: $D(X)=19{,}6-4{,}2^2=19{,}6-17{,}64=1{,}96$.

Дисперсия измеряется в «квадратных» единицах. Чтобы вернуться к единицам самой величины, извлекаем корень: $\sigma=\sqrt{1{,}96}=1{,}4$.

Проверим себя по определению — через отклонения от среднего. Значения отходят от $4{,}2$ на $-2{,}2$, $-0{,}2$ и $1{,}8$. Усредняем квадраты этих отклонений с вероятностями: $(-2{,}2)^2\cdot0{,}2+(-0{,}2)^2\cdot0{,}5+1{,}8^2\cdot0{,}3=0{,}968+0{,}02+0{,}972=1{,}96$. Дисперсия та же.