Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00045430

Представь вертикальный разрез цилиндра через центр шара. Шар касается обоих оснований, поэтому высота цилиндра равна диаметру шара, а радиусы шара и основания цилиндра одинаковы.

Обозначим общий радиус через $r$. Тогда объём цилиндра $V_{\text{ц}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3=180$, откуда $\pi r^3=90$.

Объём шара вычисляется по формуле $V_{\text{ш}}=\frac43\pi r^3$. Получаем $V_{\text{ш}}=\frac43\cdot90=120$.

Проверим отношение объёмов: $V_{\text{ш}}/V_{\text{ц}}=(4/3)/2=2/3$, и $180\cdot2/3=120$. Шар занимает меньше места, чем содержащий его цилиндр.