Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043337

Цилиндр и конус стоят на одном круге радиуса $R$ и имеют одну высоту $h$, причём $h=R$.

Боковая поверхность цилиндра — развёртка-прямоугольник: $S_{\text{ц}}=2\pi R\cdot h=2\pi R^2$. По условию $2\pi R^2=6\sqrt2$, значит $\pi R^2=3\sqrt2$.

Для конуса нужна образующая $l$ — отрезок от вершины до края основания. Она — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h=R$ и $R$:

$$l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2.$$

Боковая поверхность конуса: $S_{\text{к}}=\pi R l=\pi R\cdot R\sqrt2=\sqrt2\,\pi R^2$.

$$S_{\text{к}}=\sqrt2\cdot 3\sqrt2=3\cdot 2=6.$$

Проверим отношением: $\dfrac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ц}}}=\dfrac{\sqrt2\,\pi R^2}{2\pi R^2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, и $6\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{12}{2}=6$.