Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043338

У цилиндра и конуса общий круг-основание радиуса $R$ и общая высота $h=R$.

Образующая конуса $l$ — гипотенуза треугольника с катетами $R$ (радиус) и $R$ (высота): $l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt2$.

Боковая поверхность конуса: $S_{\text{к}}=\pi R l=\sqrt2\,\pi R^2$. По условию она равна $12\sqrt2$:

$$\sqrt2\,\pi R^2=12\sqrt2\quad\Rightarrow\quad \pi R^2=12.$$

Боковая поверхность цилиндра — прямоугольник-развёртка: длина окружности на высоту, $S_{\text{ц}}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2$.

$$S_{\text{ц}}=2\cdot 12=24.$$

Проверим отношением: $\dfrac{S_{\text{ц}}}{S_{\text{к}}}=\dfrac{2\pi R^2}{\sqrt2\,\pi R^2}=\sqrt2$, и $12\sqrt2\cdot\sqrt2=24$.