Задание 20 ЕГЭ по математике №00043846

Общая масса камней: $2\cdot 100+6\cdot 20+4\cdot 4=200+120+16=336$ т.

Пункт а. Если первая группа на $12$ т тяжелее второй и на $12$ т легче третьей, то массы групп $m-12$, $m$, $m+12$ (здесь $m$ — масса первой группы), и их сумма $3m=336$, $m=112$. Нужны группы массой $100$, $112$ и $124$ т.

Вторая: один камень $100$ т. Первая: $100+4+4+4=112$ т. Третья: $6\cdot 20+4=124$ т. Использованы все камни ($2$ по $100$, $6$ по $20$, $4$ по $4$): да.

Пункт б. Равные группы весят по $336:3=112$ т. Два камня по $100$ т в одну группу не положить ($200\gt 112$), значит, они в разных группах. В каждой из этих групп к сотне нужно добавить $12$ т. Камень $20$ т не подходит ($100+20\gt 112$), поэтому добирать можно только четырёхтонными: $12=3\cdot 4$. На две группы нужно $6$ таких камней, а их всего $4$. Значит, нет.

Пункт в. Массы всех камней делятся на $4$, поэтому $m_1$, $m_2$, $m_3$ делятся на $4$, и разности $m_1-m_2$, $m_2-m_3$ тоже кратны $4$.

Предположим, что подходит $d\lt 8$. Тогда каждая разность равна $0$ или $4$.

Обе разности равны $0$ — это пункт б, невозможно. Если одна разность $4$, а другая $0$, то сумма $m_1+m_2+m_3$ равна $3m_2+4$ или $3m_2-4$ и не делится на $3$, а $336$ делится. Остаётся $m_1=116$, $m_2=112$, $m_3=108$.

Две сотни и здесь лежат в разных группах (вдвоём они весят $200$ т, больше любой из масс). Группы с сотнями — две из трёх, им нужно добрать $16$, $12$ или $8$ т. Двадцатитонный камень не помещается ни в одну добавку, значит, добавки собираются из четырёхтонных, и на две самые маленькие добавки $8$ и $12$ уходит $2+3=5$ камней, а их только $4$. Противоречие, поэтому $d\ge 8$.

Пример с $d=8$: $m_1=100+20=120$, $m_2=5\cdot 20+3\cdot 4=112$, $m_3=100+4=104$. Разности $8$ и $8$.