Задание 20 ЕГЭ по математике №00043847

Общая масса: $4\cdot 100+5\cdot 25+6\cdot 4=400+125+24=549$ т.

Пункт а. При равных массах каждая группа весит $549:3=183$ т. Два стотонных камня в одной группе дали бы уже $200\gt 183$ т, поэтому в каждой группе не больше одного такого камня. Но групп три, а стотонных камней четыре — противоречие: нет.

Пункт б. Пусть первая группа весит $m$, тогда вторая $m-50$, третья $m+50$, сумма $3m=549$, $m=183$. Нужны массы $183$, $133$ и $233$ т.

Третья: $100+100+25+4+4=233$. Вторая: $100+25+4+4=133$. Первая: $100+25+25+25+4+4=183$. Проверим расход: сотен $2+1+1=4$, камней по $25$ т — $1+1+3=5$, по $4$ т — $2+2+2=6$. Всё сошлось: да.

Пункт в. Четыре стотонных камня разложены по трём группам, поэтому в какой-то группе их не меньше двух, и её масса не меньше $200$. Самая тяжёлая группа тем более: $m_1\ge 200$.

Из условия $m_1-m_2\le d$ и $m_2-m_3\le d$ получаем $m_2\ge m_1-d\ge 200-d$ и $m_3\ge m_2-d\ge 200-2d$. Складываем:

$$549=m_1+m_2+m_3\ge 200+(200-d)+(200-2d)=600-3d,$$

откуда $3d\ge 51$, $d\ge 17$.

Пример с $d=17$: $m_1=100+100=200$; $m_2=100+25+25+25+4+4=183$; $m_3=100+25+25+4+4+4+4=166$. Расход: сотен $4$, камней по $25$ т — $3+2=5$, по $4$ т — $2+4=6$. Разности $200-183=17$ и $183-166=17$.