Задание 20 ЕГЭ по математике №00043860

Обозначим количества камней в коробках $(x;y;z)$, сначала $(112;99;0)$. Ход «из двух коробок по камню в третью» меняет количества на $-1$, $-1$, $+2$. Всего камней всегда $211$.

Инвариант. Заметим, что $+2$ и $-1$ дают одинаковый остаток при делении на $3$ (их разность $3$). Значит, после хода у каждой коробки остаток уменьшается на $1$ — у всех одинаково. Поэтому разности $x-y$ и $y-z$ по модулю $3$ не меняются. В начале $x-y=13\equiv 1$, $y-z=99\equiv 0\pmod 3$.

Пункт а. Состояние $(103;99;9)$: $103-99=4\equiv 1$, $99-9=90\equiv 0$ — инвариант не мешает. Построим ходы. Обозначим A — «из 1-й и 2-й в 3-ю», B — «из 1-й и 3-й во 2-ю». Шесть ходов A: $(106;93;12)$. Три хода B: $(103;99;9)$. Итак, да.

Пункт б. Если в третьей коробке $211$ камней, то $(0;0;211)$ и $x-y=0\not\equiv 1\pmod 3$. Итак, нет.

Пункт в. Пусть $y=4$. Из инварианта $x\equiv y+1=5\equiv 2$ и $z\equiv y=4\equiv 1\pmod 3$. Тогда $x\ge 2$ и $z=211-4-x\le 205$.

Покажем, что $(2;4;205)$ достижимо. Делаем $95$ ходов A: $(17;4;190)$. Затем $5$ ходов B: $(12;14;185)$. Затем $10$ ходов A: $(2;4;205)$. По дороге ни одна коробка не уходит в минус.

Наибольшее число камней в третьей коробке — $205$.