Задание 20 ЕГЭ по математике №00043845

За $10$ этапов разыгрывается по $10$ первых, вторых и третьих мест, всего очков в этом году $10\cdot(10+4+1)=150$.

Пункт а. Пусть спортсмен Т на всех этапах был вторым: $10$ вторых мест, $40$ очков. Спортсмен Х дважды был первым и трижды третьим ($23$ очка). Спортсмены Y1–Y8 были первыми по одному разу; Y1–Y7 ещё по разу третьими ($11$ очков), Y8 третьих мест не имеет ($10$ очков). Раскладка по этапам: этапы 1–2 — Х, Т, Y1 и Х, Т, Y2; этапы 3–5 — Y1, Y2, Y3 первые, Т второй, Х третий; этапы 6–10 — первые Y4, Y5, Y6, Y7, Y8, второй Т, третьи Y3, Y4, Y5, Y6, Y7.

В этом году: у Т больше всех очков ($40\gt 23\gt 11$), он один; меньше всех у Y8 ($10$), он тоже один.

По правилам прошлого года: у Х два первых места — он один наверху; у Т первых мест нет, у остальных есть — Т один внизу. Итак, да.

Пункт б. Расставим очки по возрастанию: $p_1\lt p_2\lt\ldots\lt p_{10}$, соседние отличаются хотя бы на $p$. Тогда $p_i\ge (i-1)p$, и

$$150=p_1+\ldots+p_{10}\ge (0+1+\ldots+9)p=45p,$$

значит, $p\le\dfrac{150}{45}\lt 4$, то есть $p\le 3$.

Пример с $p=3$. Места (первые; вторые; третьи) и очки: С1 $(0;0;0)$ — $0$; С2 $(0;0;3)$ — $3$; С3 $(0;1;2)$ — $6$; С4 $(0;2;1)$ — $9$; С5 $(0;3;0)$ — $12$; С6 $(1;1;1)$ — $15$; С7 $(1;2;0)$ — $18$; С8 $(2;0;1)$ — $21$; С9 $(2;1;0)$ — $24$; С10 $(4;0;2)$ — $42$. Любые два результата отличаются не меньше чем на $3$. Раскладка по этапам:

Пункт в. Пусть $T$ — сумма очков пяти лучших, $B$ — пяти худших; $T+B=150$, а искомая разница средних равна $\dfrac{T-B}{5}$.

Обозначим через $x$ наибольший результат среди пяти худших. Пять худших результатов различны и не больше $x$, поэтому $B\le x+(x-1)+\ldots+(x-4)=5x-10$. Пять лучших больше $x$ и различны, поэтому $T\ge 5x+15$.

Если $x\ge 15$, то $T\ge 90$. Если $x\le 14$, то $B\le 60$, а значит, $T=150-B\ge 90$. В обоих случаях $T\ge 90$, $B\le 60$ и

$$\dfrac{T-B}{5}\ge\dfrac{90-60}{5}=6.$$

Пример с разницей $6$: С1 $(0;2;0)$ — $8$; С2 $(1;0;0)$ — $10$; С3 $(1;0;3)$ — $13$; С4 $(1;1;0)$ — $14$; С5 $(1;1;1)$ — $15$; С6 $(1;1;2)$ — $16$; С7 $(1;1;3)$ — $17$; С8 $(1;2;0)$ — $18$; С9 $(1;2;1)$ — $19$; С10 $(2;0;0)$ — $20$. Худшая пятёрка набрала $8+10+13+14+15=60$, лучшая $16+17+18+19+20=90$, средние $12$ и $18$. Раскладка по этапам: