Задание 20 ЕГЭ по математике №00043851

Пусть в классе $n$ учащихся ($11\le n\le 27$) и $g$ девочек, $g\le 0{,}26n$.

Пункт а. При $g=6$ нужно $n\ge\dfrac{6}{0{,}26}\approx 23{,}1$, то есть $n\ge 24$, и при этом $n\le 27$. Например, $n=24$: доля $\dfrac{6}{24}=25\,\%\le 26\,\%$. Итак, да.

Оценка новой доли. После прихода девочки доля $\dfrac{g+1}{n+1}$. Подставим наибольшее $g$:

$$\dfrac{g+1}{n+1}\le\dfrac{0{,}26n+1}{n+1}=0{,}26+\dfrac{0{,}74}{n+1}.$$

Пункт б. Чтобы доля стала $30\,\%$, нужно $0{,}26+\dfrac{0{,}74}{n+1}\ge 0{,}3$, то есть $\dfrac{0{,}74}{n+1}\ge 0{,}04$, $n+1\le 18{,}5$. С другой стороны, $30\,\%=\dfrac{3}{10}$ от $n+1$ человек — целое число, значит, $n+1$ кратно $10$. Но $12\le n+1\le 18$, и кратных $10$ там нет. Итак, нет.

Пункт в. По оценке доля не больше $0{,}26+\dfrac{0{,}74}{12}\approx 0{,}3217$, значит, $p\le 32$.

Если $\dfrac{g+1}{n+1}=\dfrac{p}{100}$, то знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{100}$ делит $n+1$, а $12\le n+1\le 28$.

$p=32$: $\dfrac{8}{25}$, $n+1=25$, $g=7$, $n=24$; доля до прихода $\dfrac{7}{24}\approx 29{,}2\,\%\gt 26\,\%$ — нет.

$p=31$ и $p=29$: дроби несократимы, $n+1=100$ — нет. $p=30$: $\dfrac{3}{10}$ — невозможно по пункту б.

$p=28$: $\dfrac{7}{25}$, $n+1=25$, $g+1=7$, $g=6$, $n=24$; доля до прихода $\dfrac{6}{24}=25\,\%\le 26\,\%$ — подходит. После прихода $\dfrac{7}{25}=28\,\%$.

Наибольшая доля — $28\,\%$.