Задание 20 ЕГЭ по математике №00043850

Пусть в классе $n$ учащихся ($11\le n\le 28$), из них $g$ девочек, и $g\le 0{,}22n$.

Пункт а. При $g=4$ нужно $4\le 0{,}22n$, то есть $n\ge\dfrac{4}{0{,}22}\approx 18{,}2$. Например, $n=20$: доля $\dfrac{4}{20}=20\,\%\le 22\,\%$. Итак, да.

Пункт б. После прихода девочки учеников $n+1$, девочек $g+1$. Если доля $30\,\%=\dfrac{3}{10}$, то $10(g+1)=3(n+1)$, и $n+1$ делится на $10$. При $12\le n+1\le 29$ это только $n+1=20$. Тогда $g+1=6$, $g=5$, $n=19$.

Но до прихода девочки доля была $\dfrac{5}{19}\approx 26{,}3\,\%\gt 22\,\%$ — противоречие. Итак, нет.

Пункт в. Новая доля $\dfrac{g+1}{n+1}$. Так как $g\le 0{,}22n$,

$$\dfrac{g+1}{n+1}\le\dfrac{0{,}22n+1}{n+1}=\dfrac{0{,}22(n+1)+0{,}78}{n+1}=0{,}22+\dfrac{0{,}78}{n+1}.$$

Наибольшее значение правой части — при наименьшем $n=11$: $0{,}22+\dfrac{0{,}78}{12}=0{,}285$. Значит, доля не больше $28{,}5\,\%$, и целое число процентов $p\le 28$.

Проверим кандидатов. Если $\dfrac{g+1}{n+1}=\dfrac{p}{100}$, то знаменатель несократимой дроби $\dfrac{p}{100}$ делит $n+1\le 29$.

$p=28$: $\dfrac{28}{100}=\dfrac{7}{25}$, значит, $n+1=25$, $g+1=7$, $g=6$, $n=24$; но $\dfrac{6}{24}=25\,\%\gt 22\,\%$ — не подходит.

$p=27$: $\dfrac{27}{100}$ несократима, $n+1=100$ — невозможно. $p=26$: $\dfrac{13}{50}$, $n+1=50$ — невозможно.

$p=25$: например, $n=11$, $g=2$ ($\dfrac{2}{11}\approx 18{,}2\,\%\le 22\,\%$). После прихода девочки $\dfrac{3}{12}=25\,\%$ — подходит.

Наибольшая доля — $25\,\%$.