ID: 00013694
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске?
Источник: ФИПИ
Что дано: $30$ различных натуральных чисел, каждое либо чётное, либо оканчивается на $7$; сумма равна $810$. Пусть $p$ чисел оканчиваются на $7$ (они нечётные), а $q=30-p$ чисел чётные.
Посмотрим на чётность. Чётные числа дают чётный вклад, а каждое оканчивающееся на $7$ — нечётный. Значит чётность всей суммы совпадает с чётностью числа $p$. Сумма $810$ чётна, поэтому $p$ чётно.
Пункт а). Может ли быть $24$ чётных ($q=24$, $p=6$)? Число $p=6$ чётно — годится по чётности. Проверим суммой: $6$ наименьших на $7$ ($7,17,27,37,47,57$, сумма $192$) и $24$ наименьших чётных ($2,4,\dots,48$, сумма $600$) дают $792\leqslant 810$. Остаток $18$ добираем. Значит — да.
Пункт б). Может ли быть ровно два числа на $7$ ($p=2$)? Тогда $28$ чётных. Наименьшая сумма: $7+17=24$ и $2+4+\dots+56=812$, всего $836$. Уже минимум $836\gt 810$ — значит нет.
Пункт в). Найдём наименьшее $p$. Наименьшая сумма при данном $p$ (это $p$ наименьших на $7$ и $30-p$ наименьших чётных) равна $6p^{2}-59p+930$. Требуем $6p^{2}-59p+930\leqslant 810$, то есть $6p^{2}-59p+120\leqslant 0$, откуда $p\geqslant 3$ (примерно $p$ от $3$ до $7$).
С учётом чётности $p$ наименьшее значение — $p=4$: тогда минимум $790\leqslant 810$, остаток $20$ добираем; а при $p=2$ минимум $836\gt 810$ невозможен. Наименьшее количество чисел на $7$ — 4.
а) да; б) нет; в) 4