Последовател… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013704

Что дано: $11$ различных натуральных чисел. Среднее шести наименьших равно $5$ — значит их сумма $6\cdot 5=30$. Среднее шести наибольших равно $15$ — значит их сумма $6\cdot 15=90$. Расставим числа по возрастанию: $a_1\lt a_2\lt \dots\lt a_{11}$. Тогда $a_1+\dots+a_6=30$ и $a_6+\dots+a_{11}=90$ (число $a_6$ попадает в обе шестёрки — это нам пригодится).

Пункт а). Может ли наименьшее число быть $3$? Если $a_1=3$, то пять следующих различны и больше $3$, поэтому не меньше $4,5,6,7,8$. Тогда сумма первой шестёрки не меньше $3+4+5+6+7+8=33$. Но она равна $30$ — противоречие. Значит — нет.

Пункт б). Может ли среднее всех одиннадцати быть $9$? Сложим обе суммы: $(a_1+\dots+a_6)+(a_6+\dots+a_{11})=30+90=120$. Но здесь $a_6$ посчитан дважды, поэтому сумма всех одиннадцати равна $120-a_6$. Если среднее равно $9$, то сумма равна $99$, откуда $a_6=21$.

Однако $a_6$ — наибольшее в первой шестёрке (сумма $30$), а пять меньших — различные натуральные, не меньше $1,2,3,4,5$. Значит $a_6\leqslant 30-(1+2+3+4+5)=15$. Получили $a_6=21\gt 15$ — противоречие. Значит — нет.

Пункт в). Нужно наибольшее значение $S-B$, где $B=a_6$, а $S=\dfrac{120-a_6}{11}$ — среднее всех. Подставим:

$$S-B=\dfrac{120-a_6}{11}-a_6=\dfrac{120-12a_6}{11}.$$

Эта величина тем больше, чем меньше $a_6$. Найдём, насколько маленьким может быть $a_6$. Оно наибольшее среди шести различных чисел суммы $30$, поэтому пять меньших не больше $a_6-1,\dots,a_6-5$, и $30=a_1+\dots+a_6\leqslant (a_6-5)+(a_6-4)+\dots+(a_6-1)+a_6=6a_6-15$. Отсюда $6a_6\geqslant 45$, то есть $a_6\geqslant 7{,}5$, а так как число целое — $a_6\geqslant 8$.

При $a_6=8$ годится, например, первая шестёрка $1,3,5,6,7,8$ (сумма $30$). Тогда $S-B=\dfrac{120-12\cdot 8}{11}=\dfrac{120-96}{11}=\dfrac{24}{11}$. Наибольшее значение — $\dfrac{24}{11}$.