Что дано: 11 различных натуральных чисел. Среднее шести наименьших равно 5 — значит их сумма 6\cdot 5=30. Среднее шести наибольших равно 15 — значит их сумма 6\cdot 15=90. Расставим числа по возрастанию: a_1\lt a_2\lt \dots\lt a_{11}. Тогда a_1+\dots+a_6=30 и a_6+\dots+a_{11}=90 (число a_6 попадает в обе шестёрки — это нам пригодится).

Пункт а). Может ли наименьшее число быть 3? Если a_1=3, то пять следующих различны и больше 3, поэтому не меньше 4,5,6,7,8. Тогда сумма первой шестёрки не меньше 3+4+5+6+7+8=33. Но она равна 30 — противоречие. Значит — нет.

Пункт б). Может ли среднее всех одиннадцати быть 9? Сложим обе суммы: (a_1+\dots+a_6)+(a_6+\dots+a_{11})=30+90=120. Но здесь a_6 посчитан дважды, поэтому сумма всех одиннадцати равна 120-a_6. Если среднее равно 9, то сумма равна 99, откуда a_6=21.

Однако a_6 — наибольшее в первой шестёрке (сумма 30), а пять меньших — различные натуральные, не меньше 1,2,3,4,5. Значит a_6\leqslant 30-(1+2+3+4+5)=15. Получили a_6=21\gt 15 — противоречие. Значит — нет.

Пункт в). Нужно наибольшее значение S-B, где B=a_6, а S=\dfrac{120-a_6}{11} — среднее всех. Подставим:

S-B=\dfrac{120-a_6}{11}-a_6=\dfrac{120-12a_6}{11}.

Эта величина тем больше, чем меньше a_6. Найдём, насколько маленьким может быть a_6. Оно наибольшее среди шести различных чисел суммы 30, поэтому пять меньших не больше a_6-1,\dots,a_6-5, и 30=a_1+\dots+a_6\leqslant (a_6-5)+(a_6-4)+\dots+(a_6-1)+a_6=6a_6-15. Отсюда 6a_6\geqslant 45, то есть a_6\geqslant 7{,}5, а так как число целое — a_6\geqslant 8.

При a_6=8 годится, например, первая шестёрка 1,3,5,6,7,8 (сумма 30). Тогда S-B=\dfrac{120-12\cdot 8}{11}=\dfrac{120-96}{11}=\dfrac{24}{11}. Наибольшее значение — \dfrac{24}{11}.