Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042227

Пусть первый член прогрессии $a$, разность $d$; оба — натуральные числа (прогрессия возрастает и состоит из натуральных чисел). Обозначу $T_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$.

Когда к первым $n$ членам добавляется $a_{n+1}$, появляются новые попарные произведения $a_{n+1}a_1,\ a_{n+1}a_2,\ \ldots,\ a_{n+1}a_n$. Поэтому $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}T_n$.

Применив это дважды, получаю $S_{n+2}-S_n=a_{n+1}T_n+a_{n+2}T_{n+1}$.

Все множители здесь положительны и растут при увеличении $a$, $d$ и $n$. Значит, разность $S_{n+2}-S_n$ возрастает по каждому из этих параметров.

Пункт а. $S_4-S_3=a_4(a_1+a_2+a_3)=(a+3d)\cdot3(a+d)$. Нужно $3(a+d)(a+3d)=105$, то есть $(a+d)(a+3d)=35$.

Здесь $2\le a+d\lt a+3d$, а $35=5\cdot7$, поэтому $a+d=5$, $a+3d=7$. Отсюда $d=1$, $a=4$.

Проверка: прогрессия $4,\ 5,\ 6,\ 7$; $S_3=20+30+24=74$, $S_4=74+7\cdot(4+5+6)=74+105$. Итак, да.

Пункт б. Посчитаю $S_{19}-S_{17}=a_{18}T_{17}+a_{19}T_{18}$ для самых «маленьких» прогрессий.

$a=1,\ d=1$: $a_{18}=18$, $T_{17}=153$, $a_{19}=19$, $T_{18}=171$; разность $18\cdot153+19\cdot171=2754+3249=6003\lt6932$.

$a=2,\ d=1$: $a_{18}=19$, $T_{17}=170$, $a_{19}=20$, $T_{18}=189$; разность $3230+3780=7010\gt6932$.

$a=1,\ d=2$: $a_{18}=35$, $T_{17}=289$, уже первое слагаемое $35\cdot289=10115\gt6932$.

Значит, при $d=1$, $a=1$ разность мала, при $d=1$, $a\ge2$ — велика, а при $d\ge2$ она не меньше $10115$. Равенство невозможно. Итак, нет.

Пункт в. При $n=18$ даже для прогрессии $1,\ 2,\ 3,\ \ldots$: $a_{19}T_{18}+a_{20}T_{19}=19\cdot171+20\cdot190=3249+3800=7049\gt6932$. Из монотонности по $n$, $a$, $d$ следует, что при $n\ge18$ равенство невозможно.

При $n=17$ оно невозможно по пункту б. Проверю $n=16$.

Возьму прогрессию $3,\ 4,\ 5,\ \ldots$ ($a=3$, $d=1$): $a_{17}=19$, $T_{16}=\dfrac{(3+18)\cdot16}{2}=168$, $a_{18}=20$, $T_{17}=168+19=187$.

$S_{18}-S_{16}=19\cdot168+20\cdot187=3192+3740=6932$ — равенство выполнено.

Итак, наибольшее значение $n=16$.