Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042238

Обозначу разности соседних членов $d_k=a_{k+1}-a_k$. Равенство из условия перепишу: $a_{k+2}-a_{k+1}=(a_{k+1}-a_k)+1$, то есть $d_{k+1}=d_k+1$. Разности — подряд идущие целые числа, каждая на 1 больше предыдущей.

Отсюда $d_k=d_1+(k-1)$ и $a_k=a_1+(k-1)d_1+\dfrac{(k-1)(k-2)}{2}$ — член последовательности выражается квадратичной формулой от номера.

Пункт а. Пойду назад от $a_5=3$ по формуле $a_k=2a_{k+1}-a_{k+2}+1$, задав $a_4=2$: $a_3=2\cdot2-3+1=2$, $a_2=2\cdot2-2+1=3$, $a_1=2\cdot3-2+1=5$.

Проверка вперёд: $a_3=2\cdot3-5+1=2$, $a_4=2\cdot2-3+1=2$, $a_5=2\cdot2-2+1=3$. Пример: $5,\ 3,\ 2,\ 2,\ 3$.

Пункт б. $a_{11}-a_3=d_3+d_4+\ldots+d_{10}$ — это сумма восьми подряд идущих целых чисел: $8d_3+(0+1+\ldots+7)=8d_3+28$.

Равенство $a_3=a_{11}$ означает $8d_3+28=0$, то есть $d_3=-3{,}5$ — не целое. Но разности целые. Итак, нет.

Пункт в. Все члены натуральные и не больше 50, поэтому любые два отличаются не больше чем на $50-1=49$.

Пусть среди разностей $p$ отрицательных и $q$ положительных, нулевых — не больше одной; $n-1\le p+q+1$. Отрицательные разности — это $-1,\ \ldots,\ -p$, и на этом участке последовательность уменьшается на $\dfrac{p(p+1)}{2}$.

Значит, $\dfrac{p(p+1)}{2}\le49$. Так как $\dfrac{9\cdot10}{2}=45$, а $\dfrac{10\cdot11}{2}=55\gt49$, получаем $p\le9$; так же $q\le9$.

Отсюда $n-1\le9+9+1=19$, $n\le20$.

Пример при $n=20$ — симметричная последовательность с разностями от $-9$ до $9$ и наименьшим членом 1:

$46,\ 37,\ 29,\ 22,\ 16,\ 11,\ 7,\ 4,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16,\ 22,\ 29,\ 37,\ 46.$

Все члены натуральные и не превосходят 50. Наибольшее $n=20$.