Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042237

Обозначу разности соседних членов $d_k=a_{k+1}-a_k$. Равенство из условия перепишу: $a_{k+2}-a_{k+1}=(a_{k+1}-a_k)+1$, то есть $d_{k+1}=d_k+1$. Разности — подряд идущие целые числа, каждая на 1 больше предыдущей.

Пункт а. Возьму разности $-2,\ -1,\ 0,\ 1$ и восстановлю члены с конца от $a_5=5$: $a_4=4$, $a_3=4$, $a_2=5$, $a_1=7$.

Проверка: $a_3=2\cdot5-7+1=4$, $a_4=2\cdot4-5+1=4$, $a_5=2\cdot4-4+1=5$. Пример: $7,\ 5,\ 4,\ 4,\ 5$.

Пункт б. Пусть $a_i=a_j=a_l$ при $i\lt j\lt l$. Тогда $d_i+d_{i+1}+\ldots+d_{j-1}=a_j-a_i=0$.

Разности возрастают, поэтому если бы все они были отрицательны, сумма была бы отрицательной. Значит, последняя из них $d_{j-1}\ge0$.

Тогда $d_j=d_{j-1}+1\ge1$ и все следующие разности положительны, то есть после номера $j$ последовательность строго возрастает и $a_l\gt a_j$. Противоречие. Итак, нет.

Пункт в. Разностей $n-1$, и это подряд идущие целые числа. Пусть среди них $p$ отрицательных и $q$ положительных; нулевая — не больше одной. Тогда $n-1\le p+q+1$.

Отрицательные разности — это ровно $-1,\ -2,\ \ldots,\ -p$ (подряд идущие целые). На участке с ними последовательность уменьшается на $1+2+\ldots+p=\dfrac{p(p+1)}{2}$.

Все члены двузначные, поэтому любые два отличаются не больше чем на $99-10=89$. Значит, $\dfrac{p(p+1)}{2}\le89$. Так как $\dfrac{12\cdot13}{2}=78$, а $\dfrac{13\cdot14}{2}=91\gt89$, получаем $p\le12$. Аналогично $q\le12$.

Отсюда $n-1\le12+12+1=25$, $n\le26$.

Пример при $n=26$: разности $-12,\ -11,\ \ldots,\ 11,\ 12$, первый член $88$:

$88,\ 76,\ 65,\ 55,\ 46,\ 38,\ 31,\ 25,\ 20,\ 16,\ 13,\ 11,\ 10,\ 10,\ 11,\ 13,\ 16,\ 20,\ 25,\ 31,\ 38,\ 46,\ 55,\ 65,\ 76,\ 88.$

Все 26 членов двузначные. Наибольшее $n=26$.