Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042228

Пусть $a$ — первый член, $d$ — разность; $a$ и $d$ натуральные. Обозначу $T_n=a_1+\ldots+a_n$.

Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс удвоенная сумма попарных произведений: $T_n^2=a_1^2+\ldots+a_n^2+2S_n$.

Добавлю член $a_{n+1}$: $T_{n+1}^2=(T_n+a_{n+1})^2=T_n^2+2a_{n+1}T_n+a_{n+1}^2$. Сравнив с формулой для $S_{n+1}$, получаю $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}T_n$.

Значит, $S_{n+2}-S_n=a_{n+1}T_n+a_{n+2}T_{n+1}$, и эта величина возрастает при увеличении $a$, $d$ и $n$.

Пункт а. $S_4-S_3=a_4\cdot T_3=(a+3d)\cdot3(a+d)=165$, то есть $(a+d)(a+3d)=55$.

Так как $2\le a+d\lt a+3d$ и $55=5\cdot11$, то $a+d=5$, $a+3d=11$, откуда $d=3$, $a=2$.

Проверка: прогрессия $2,\ 5,\ 8,\ 11$; $a_4T_3=11\cdot15=165$. Итак, да.

Пункт б. $S_{19}-S_{17}=a_{18}T_{17}+a_{19}T_{18}$.

При $a=1,\ d=1$: $18\cdot153+19\cdot171=2754+3249=6003\lt6815$.

При $a=2,\ d=1$: $19\cdot170+20\cdot189=3230+3780=7010\gt6815$.

При $d\ge2$ уже $a_{18}T_{17}\ge35\cdot289=10115\gt6815$.

Значит, ни при каких натуральных $a$, $d$ значение 6815 не получается. Итак, нет.

Пункт в. При $n=18$ и прогрессии $1,\ 2,\ 3,\ \ldots$: $19\cdot171+20\cdot190=7049\gt6815$, поэтому при $n\ge18$ равенства нет. При $n=17$ его нет по пункту б.

Проверю $n=16$: $S_{18}-S_{16}=a_{17}T_{16}+a_{18}T_{17}$.

При $d\ge2$: $a_{17}T_{16}\ge33\cdot256=8448\gt6815$ — не подходит. Значит, $d=1$.

При $d=1$, $a=2$: $a_{17}=18$, $T_{16}=152$, $a_{18}=19$, $T_{17}=170$; сумма $2736+3230=5966\lt6815$.

При $d=1$, $a=3$: $19\cdot168+20\cdot187=3192+3740=6932\gt6815$. При больших $a$ значение ещё больше. Значит, при $n=16$ равенство невозможно.

Проверю $n=15$ с прогрессией $4,\ 5,\ 6,\ \ldots$: $a_{16}=19$, $T_{15}=\dfrac{(4+18)\cdot15}{2}=165$, $a_{17}=20$, $T_{16}=184$.

$S_{17}-S_{15}=19\cdot165+20\cdot184=3135+3680=6815$ — подходит.

Итак, наибольшее значение $n=15$.