Что дано: 10 различных натуральных чисел, и среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти и шести из них — целое. Главное — вытащить отсюда простое свойство чисел.

Если среднее любых трёх целое, то сумма любых трёх делится на 3. Возьмём две тройки, отличающиеся одним числом: a+b+c и a+b+d обе делятся на 3, значит их разность c-d делится на 3. То есть разность любых двух чисел кратна 3. Точно так же из «по четыре, пять, шесть» получаем, что разность любых двух чисел делится на 4, 5 и 6. А раз так — она делится на их наименьшее общее кратное \text{НОК}(3,4,5,6)=60.

Значит все десять чисел дают одинаковый остаток при делении на 60. Одно из чисел 30033=60\cdot 500+33 даёт остаток 33, поэтому все числа сравнимы с 33 по модулю 60 (короче: \equiv 33\pmod{60}).

Пункт а). Может ли быть число 303? Его остаток при делении на 60 равен 3 (303=60\cdot 5+3), а должен быть 33. Не совпадает — значит нет.

Пункт б). Может ли отношение двух чисел равняться 31? Пусть a=31b, причём b\equiv 33\pmod{60}. Тогда a\equiv 31\cdot 33\pmod{60}. Считаем: 31\cdot 33=1023=60\cdot 17+3, то есть a\equiv 3\pmod{60}. Но должно быть a\equiv 33 — противоречие. Значит нет.

Пункт в). Пусть отношение двух чисел равно целому n: a=nb, где оба \equiv 33\pmod{60}. Тогда 33n\equiv 33\pmod{60}, то есть 33(n-1) делится на 60. У чисел 33 и 60 общий делитель 3; поделим на него: 11(n-1) делится на 20. А 11 и 20 взаимно просты, поэтому на 20 должно делиться само (n-1). Наименьшее n\gt 1 с этим свойством — n=21.

Проверим, что n=21 достижимо: возьмём b=33 и a=33\cdot 21=693=60\cdot 11+33 — оба числа сравнимы с 33 по модулю 60, их можно включить в набор. Наименьшее значение n — 21.