Дано четырёхзначное число abcd с чертой, где a, b, c и d — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a не равно 0. а) Может ли произведение a умножить на b умножить на c умножить на d быть больше суммы a плюс b плюс c плюс d в 5 раз? б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел abcd с чертой таких, что a умножить на b умножить на c умножить на da плюс b плюс c плюс d? в) Известно, что a умножить на b умножить на c умножить на d равно k левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс d правая круглая скобка, где k — двузначное число. При каком наибольшем значении abcd с чертой число k будет наибольшим?

Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043859

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Числа и их свойства

№2. Задание 20

ID: 00043859

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$ , где $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ и $$d$$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a \neq 0$ .

а) Может ли произведение $a \cdot b \cdot c \cdot d$ быть больше суммы $$a + b + c + d$$ в 5 раз?

б) Цифры $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ и $$d$$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a \cdot b \cdot c \cdot d \gt a + b + c + d$ ?

в) Известно, что $a \cdot b \cdot c \cdot d = k(a + b + c + d)$ , где $$k$$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $$k$$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Пункт а. Число $$2235$$ : произведение $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$ , сумма $$12$$ , и $60=5\cdot 12$ . Итак, да.

Пункт б. Цифры попарно различны. Если есть ноль, произведение $$0$$ меньше суммы — не подходит. Если нуля нет, расположим цифры по возрастанию $p\lt q\lt r\lt s$ ; тогда $p\ge 1$ , $q\ge 2$ , $r\ge 3$ и произведение $pqrs\ge 6s$ , а сумма меньше $$4s$$ . Значит, у всех чисел без нуля произведение больше суммы.

Считаем четырёхзначные числа из четырёх различных ненулевых цифр: первую цифру выбираем $$9$$ способами, вторую $$8$$ , третью $$7$$ , четвёртую $$6$$ — всего $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024$ .

Пункт в. Обозначим $$P=abcd$$ , $$S=a+b+c+d$$ , $$P=kS$$ . Найдём, при каких наборах цифр $$k$$ двузначное и как можно больше.

Если среди цифр есть $$0$$ , то $$P=0$$ и $$k=0$$ . Пусть все цифры ненулевые. Среднее геометрическое четырёх чисел не больше их среднего арифметического, поэтому $P\le\left(\dfrac{S}{4}\right)^4$ и

$k=\dfrac{P}{S}\le\dfrac{S^3}{256}.$

Чтобы было $k\ge 96$ , нужно $S^3\ge 96\cdot 256=24\,576$ . Но $29^3=24\,389$ — мало, значит, $S\ge 30$ . И $S\le 36$ .

Разберём $$S$$ от $$30$$ до $$36$$ . Число $$P$$ делится на $$S$$ , а цифры не больше $$9$$ .

$$S=31$$ — простое, ни одна цифра на $$31$$ не делится, $$P$$ не делится на $$31$$ . $S=33=3\cdot 11$ и $S=34=2\cdot 17$ — на $$11$$ и $$17$$ цифры тоже не делятся. $$S=35$$ : цифры $$8,9,9,9$$ , $$P=5832$$ не делится на $$5$$ . $$S=36$$ : $$9999$$ , $$P=6561$$ на $$36$$ не делится.

$$S=32$$ : «недостачи до девяти» в сумме дают $$4$$ , наборы $$5999$$ , $$6899$$ , $$7799$$ , $$7889$$ , $$8888$$ с произведениями $$3645$$ , $$3888$$ , $$3969$$ , $$4032$$ , $$4096$$ . Все они больше $99\cdot 32=3168$ , то есть $k\gt 99$ — не двузначное.

$$S=30$$ : при $k\ge 96$ нужно $2880\le P\le 2970$ , и $$P$$ делится на $$30$$ , а значит, на $$5$$ — среди цифр есть $$5$$ . Остальные три цифры дают $$25$$ : это $$7,9,9$$ или $$8,8,9$$ . Набор $$5,7,9,9$$ : $$P=2835$$ , $$k=94{,}5$$ — не целое. Набор $$5,8,8,9$$ : $$P=2880$$ , $$k=96$$ .

Итак, наибольшее двузначное $$k=96$$ , и получается оно только из цифр $$5,8,8,9$$ .

Наибольшее число из этих цифр — $$9885$$ . Проверим: $9\cdot 8\cdot 8\cdot 5=2880=96\cdot 30$ .

Ответ

а) да; б) $$3024$$ ; в) $$9885$$

Другие задания по теме «Числа и их свойства» (8)