Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043854

Если среднее геометрическое $k$ чисел равно $m$, то их произведение равно $m^k$.

Пункт а. $27\cdot 45\cdot 75=27\cdot 75\cdot 45=2025\cdot 45=45^2\cdot 45=45^3$. Числа различные двузначные: да.

Пункт б. Произведение трёх различных двузначных чисел не меньше $10\cdot 11\cdot 12=1320\gt 10^3$, поэтому $m\ge 11$.

Пусть $a\lt b\lt c$ и $abc=m^3$. Числа не все равны $m$, поэтому $a\lt m\lt c$. Кроме того, $a$ делит $m^3$, значит, все простые делители $a$ — делители $m$. Итак, нужно двузначное $a$ от $10$ до $m-1$ без «чужих» простых делителей.

$m=11,13,17$ — простые: двузначное $a\lt m$ должно быть степенью $m$, таких нет. $m=12$: $a=10$ или $11$ — у обоих есть делители $5$ или $11$, которых нет у $12$. $m=14$: числа $10\ldots 13$ содержат $5$, $11$, $3$, $13$. $m=15$: $10\ldots 14$ содержат $2$, $11$, $13$, $7$. $m=16$: $10\ldots 15$ содержат простые, отличные от $2$. Значит, $m\ge 18$.

И $m=18$ подходит: $12\cdot 18\cdot 27=5832=18^3$.

Пункт в. Пусть шесть различных двузначных чисел $a_1,\ldots,a_6$ дают произведение $m^6$. Каждое $a_i$ делит $m^6$, поэтому все его простые делители — делители $m$.

Оценка сверху. $m^6\le 99\cdot 98\cdot 97\cdot 96\cdot 95\cdot 94=806\,781\,064\,320\lt 97^6$, значит, $m\le 96$.

Пример для $60$. $15\cdot 60\cdot 75\cdot 80\cdot 90\cdot 96$: разложим на простые — двоек $0+2+0+4+1+5=12$, троек $1+1+1+0+2+1=6$, пятёрок $1+1+2+1+1+0=6$, то есть $2^{12}3^65^6=60^6$.

Остаётся доказать, что $m$ от $61$ до $96$ невозможны.

Простой делитель $p\ge 11$. Тогда $p^2\gt 99$, и каждое $a_i$ содержит $p$ не больше одного раза, а в $m^6$ показатель $p$ не меньше $6$. Значит, все шесть чисел кратны $p$: $a_i=p\,t_i$ с разными $t_i\le\dfrac{99}{p}$.

При $p\ge 17$ $t_i\le 5$ — шести разных не набрать.

При $p=13$ ($m=65,78,91$) $t_i\le 7$ и $t_1\ldots t_6=5^6$, $6^6$ или $7^6$. Но среди $1,\ldots,7$ на $5$ и на $7$ делится лишь по одному числу, а тройки содержат только $3$ и $6$ (показатель тройки не больше $2\lt 6$).

При $p=11$ ($m=66,77,88$) $t_i\le 9$ и $t_1\ldots t_6=6^6$, $7^6$ или $8^6$. Показатель тройки в числах $1\ldots 9$ в сумме не больше $1+1+2=4$ (у $3,6,9$); семёрка только у $7$; показатель двойки не больше $1+2+1+3=7\lt 18$.

Остальные $m$ составлены из $2,3,5,7$: $63,64,70,72,75,80,81,84,90,96$.

$64$: двузначные степени двойки — только $16,32,64$. $81$: только $27,81$. $63=3^2\cdot 7$: из троек и семёрок — $21,27,49,63,81$, пять чисел.

$75=3\cdot 5^2$: подходят ровно $15,25,27,45,75,81$, но показатель тройки в их произведении $1+0+3+2+1+4=11\ne 6$.

$70=2\cdot 5\cdot 7$: нужны показатели пятёрки и семёрки по $6$, всего $12$. У двузначного числа сумма этих показателей не больше $2$, значит, у каждого из шести ровно $2$: это $25,35,49,50,70,98$ — ровно шесть, но двоек у них $0+0+0+1+1+1=3\ne 6$.

$80=2^4\cdot 5$: нужен показатель двойки $24$. У чисел $64,32,16,80,40,20,10,50,25$ он $6,5,4,4,3,2,1,1,0$; сумма шести наибольших ровно $24$, и набирается она только набором $64,32,16,80,40,20$, где пятёрок всего $3\ne 6$.

$96=2^5\cdot 3$: нужен показатель двойки $30$, а шесть наибольших показателей у двузначных $2^x3^y$ — это $6,5,5,4,4,3$ ($64,32,96,16,48$ и $24$ или $72$), сумма $27\lt 30$.

$72=2^3\cdot 3^2$: нужны $18$ двоек и $12$ троек, всего $30$ простых множителей. Число простых множителей у двузначных $2^x3^y$: $64,96$ — по $6$; $32,48,72$ — по $5$; $16,24,36,54,81$ — по $4$; $12,18,27$ — по $3$. Сумма $30$ получается либо набором $64,96,32,48,72$ плюс число с $3$ множителями — тогда троек не больше $0+1+0+1+2+3=7$; либо $64,96$, два числа из $32,48,72$ и два из $16,24,36,54,81$ — троек не больше $1+3+4+3=11$. В обоих случаях меньше $12$.

$90=2\cdot 3^2\cdot 5$: нужно троек $12$ и пятёрок $6$, вместе $18$. Сумма этих показателей не меньше $3$ только у $27,45,54,75,90$ (по $3$) и $81$ ($4$), у остальных не больше $2$. Все шесть дают $19$, пять из них плюс другое число — не больше $16+2$, причём $18$ только если взяты $81$, четыре из $27,45,54,75,90$ и число с суммой $2$. Пятёрок нужно $6$: у $45,75,90$ их $1+2+1=4$, значит, взяты $45,75,90$, одно из $27,54$ и число с двумя пятёрками и без троек — $25$ или $50$. Тогда двоек не больше $1+1+1=3\ne 6$ (у $90$, $54$, $50$).

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$: наименьшее из шести чисел не меньше $\dfrac{84^6}{99\cdot 98\cdot 97\cdot 96\cdot 95}\gt 40$. Подходят только $42,48,49,54,56,63,64,72,81,84,96,98$. Показатель семёрки должен быть $6$; у $49,98$ он $2$, у $42,56,63,84$ — $1$ (всего $8$). Значит, либо не взято $49$ (берём $42,56,63,84,98$ и одно число без семёрки — двоек нужно $12-7=5$, это $96$, но троек тогда $4+1=5\ne 6$), либо не взято $98$ (берём $42,49,56,63,84$ — двоек нужно ещё $6$: $64$, а троек $4\ne 6$), либо взяты $49$, $98$, два из $42,56,63,84$ и два числа из $48,54,64,72,81,96$.

В последнем случае посчитаем, сколько (двоек; троек) должны дать два числа без семёрки: для пары $42,56$ — $(7;5)$, для $42,63$ — $(10;3)$, для $42,84$ — $(8;4)$, для $56,63$ — $(8;4)$, для $56,84$ — $(6;5)$, для $63,84$ — $(9;3)$. А пары из $48(4;1)$, $54(1;3)$, $64(6;0)$, $72(3;2)$, $81(0;4)$, $96(5;1)$ дают только $(5;4)$, $(10;1)$, $(7;3)$, $(4;5)$, $(9;2)$, $(7;3)$, $(4;5)$, $(1;7)$, $(6;4)$, $(9;2)$, $(6;4)$, $(11;1)$, $(3;6)$, $(8;3)$, $(5;5)$ — ни одна нужная пара не встречается. Значит, $84$ невозможно.

Итак, наибольшее целое среднее геометрическое шести различных двузначных чисел равно $60$.