Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043835

Все цифры $a,b,c$ от $1$ до $9$, потому что произведение $abc$ не равно нулю. Число $\overline{abc}=100a+10b+c$.

Пункт а. Возьмём $175$. Произведение цифр $1\cdot 7\cdot 5=35$, а $5\cdot 35=175$. Число в пять раз больше произведения: да.

(Как его найти: $5abc$ делится на $5$, значит, $c=5$. Тогда $100a+10b+5=25ab$; делим на $5$: $20a+2b+1=5ab$. Слева нечётное число, поэтому $a$ и $b$ нечётные. Перебор $a=1$: $21+2b=5b$, $b=7$.)

Пункт б. Предположим, что $100a+10b+c=120abc$.

Трёхзначное число с первой цифрой $a$ меньше $100(a+1)$, а $100(a+1)\le 200a$ при $a\ge 1$. Значит, $120abc\lt 200a$. Делим на $a$: $120bc\lt 200$, $bc\lt\dfrac53$.

Цифры $b$ и $c$ не меньше $1$, поэтому $b=c=1$. Тогда уравнение даёт $100a+11=120a$, $20a=11$ — $a$ не целое.

Значит, нет.

Пункт в. Разделим число на произведение цифр почленно:

$$\dfrac{100a+10b+c}{abc}=\dfrac{100}{bc}+\dfrac{10}{ac}+\dfrac{1}{ab}.$$

Каждая цифра не больше $9$, поэтому каждое произведение двух цифр не больше $81$, а каждая дробь не меньше, чем с $81$ в знаменателе:

$$\dfrac{\overline{abc}}{abc}\ge\dfrac{100}{81}+\dfrac{10}{81}+\dfrac{1}{81}=\dfrac{111}{81}=\dfrac{37}{27}.$$

Равенство — когда все цифры равны $9$: $\dfrac{999}{729}=\dfrac{37}{27}$ (сократили на $27$: $999=27\cdot 37$, $729=27\cdot 27$).

Значит, наименьшее отношение равно $\dfrac{37}{27}$.