Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043853

Если $A=p_1^{a_1}\ldots p_s^{a_s}$, то число делителей $k=(a_1+1)\ldots(a_s+1)$: показатель каждого простого в делителе выбирается от $0$ до $a_i$.

Пункт а. $144=2^4\cdot 3^2$: $k=5\cdot 3=15$. Итак, да.

Пункт б. $960=2^6\cdot 3\cdot 5$: $k=7\cdot 2\cdot 2=28$. Итак, да.

Пункт в. Ищем все трёхзначные $A$ с $k\ge 30$. Пусть у $A$ ровно $s$ различных простых делителей.

$s\ge 5$: $A\ge 2310$ — нет.

$s=1$: $A=p^a$, $a\le 9$, $k\le 10$.

$s=2$: $A=p^aq^b\ge 2^a3^b$ при $a\ge b$. При $b=1$: $a\le 8$, $k\le 18$; при $b=2$: $a\le 6$, $k\le 21$; при $b=3$: $a\le 5$, $k\le 24$; при $b\ge 4$: $A\ge 1296$. Везде $k\lt 30$.

$s=3$: $A=p^aq^br^c\ge 2^a3^b5^c$ при $a\ge b\ge c\ge 1$. Перебор показателей (как наименьшее число с такими показателями должно быть меньше $1000$): $(a;b;c)=(a;1;1)$ при $a\le 6$ — $k\le 28$; $(4;2;1)$ — $k=30$; $(3;2;1)$, $(2;2;1)$, $(2;2;2)$ — $k\le 27$; $(5;2;1)$ уже даёт $2^5\cdot 9\cdot 5=1440$, а $(3;3;1)$ — $1080$. Значит, $k\ge 30$ только при показателях $4,2,1$: $A=p^4q^2r$. Наименьшее такое число $2^4\cdot 3^2\cdot 5=720$, следующие кандидаты $2^4\cdot 3^2\cdot 7=1008$, $2^4\cdot 5^2\cdot 3=1200$, $3^4\cdot 2^2\cdot 5=1620$ уже больше $999$. Здесь подходит только $720$ ($k=5\cdot 3\cdot 2=30$).

$s=4$: $A=p_1p_2p_3p_4\cdot t$, $p_1p_2p_3p_4\ge 210$, значит, $t\le 4$. При $t=1$ $k=16$, при простом $t$ $k=24$. При $t=4$ возможны $A=2^3p_2p_3p_4$ с $k=32$ — и тогда $p_2p_3p_4\le 124$, то есть $p_2p_3p_4=3\cdot 5\cdot 7=105$ (следующее, $3\cdot 5\cdot 11=165$, уже велико): $A=840$; или $A=p^2q^2rs\ge 1260$ — нет.

Итак, $k\ge 30$ только у $A=720$ и $A=840$.