Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043858

Пункт а. Число $1236$: произведение цифр $1\cdot 2\cdot 3\cdot 6=36$, сумма $1+2+3+6=12$, и $36=3\cdot 12$. Итак, да.

Пункт б. Цифры попарно различны.

Если среди цифр есть $0$, произведение равно $0$, а сумма положительна — неравенство выполнено.

Если нуля нет, упорядочим цифры: $p\lt q\lt r\lt s$, они не меньше $1,2,3$ соответственно. Тогда произведение $pqrs\ge 1\cdot 2\cdot 3\cdot s=6s$, а сумма $p+q+r+s\lt 4s$. Значит, произведение больше суммы, и такие числа не подходят.

Остаётся посчитать четырёхзначные числа с различными цифрами, среди которых есть ноль. Всего чисел с различными цифрами $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$ (первая цифра — любая кроме $0$, вторая — любая кроме первой, и т. д.). Без нуля: $9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024$. С нулём: $4536-3024=1512$.

Пункт в. Обозначим $P=abcd$, $S=a+b+c+d$, $P=kS$. Найдём, при каких наборах цифр $k$ двузначное и как можно больше.

Если среди цифр есть $0$, то $P=0$ и $k=0$. Пусть все цифры ненулевые. Среднее геометрическое четырёх чисел не больше их среднего арифметического, поэтому $P\le\left(\dfrac{S}{4}\right)^4$ и

$$k=\dfrac{P}{S}\le\dfrac{S^3}{256}.$$

Чтобы было $k\ge 96$, нужно $S^3\ge 96\cdot 256=24\,576$. Но $29^3=24\,389$ — мало, значит, $S\ge 30$. И $S\le 36$.

Разберём $S$ от $30$ до $36$. Число $P$ делится на $S$, а цифры не больше $9$.

$S=31$ — простое, ни одна цифра на $31$ не делится, $P$ не делится на $31$. $S=33=3\cdot 11$ и $S=34=2\cdot 17$ — на $11$ и $17$ цифры тоже не делятся. $S=35$: цифры $8,9,9,9$, $P=5832$ не делится на $5$. $S=36$: $9999$, $P=6561$ на $36$ не делится.

$S=32$: «недостачи до девяти» в сумме дают $4$, наборы $5999$, $6899$, $7799$, $7889$, $8888$ с произведениями $3645$, $3888$, $3969$, $4032$, $4096$. Все они больше $99\cdot 32=3168$, то есть $k\gt 99$ — не двузначное.

$S=30$: при $k\ge 96$ нужно $2880\le P\le 2970$, и $P$ делится на $30$, а значит, на $5$ — среди цифр есть $5$. Остальные три цифры дают $25$: это $7,9,9$ или $8,8,9$. Набор $5,7,9,9$: $P=2835$, $k=94{,}5$ — не целое. Набор $5,8,8,9$: $P=2880$, $k=96$.

Итак, наибольшее двузначное $k=96$, и получается оно только из цифр $5,8,8,9$.

Наименьшее число из этих цифр (первой ставим самую маленькую) — $5889$. Проверим: $5\cdot 8\cdot 8\cdot 9=2880$, $5+8+8+9=30$, $2880=96\cdot 30$.