Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043855

Если среднее геометрическое $k$ чисел равно $m$, то их произведение равно $m^k$. Кроме того, каждое из чисел делит $m^k$, поэтому все его простые делители — делители $m$.

Пункт а. $24\cdot 36\cdot 54=24\cdot 54\cdot 36=1296\cdot 36=36^2\cdot 36=36^3$: да.

Пункт б. Произведение четырёх различных двузначных чисел не меньше $10\cdot 11\cdot 12\cdot 13=17\,160\gt 11^4=14\,641$, значит, $m\ge 12$.

Числа не все равны $m$, поэтому хотя бы одно из них меньше $m$. Это двузначное число от $10$ до $m-1$ без простых делителей, которых нет у $m$.

$m=13,17,19$ — простые, двузначных степеней у них нет, кроме самого $m$. $m=12$: $10$ и $11$ содержат $5$ и $11$. $m=14$: $10,\ldots,13$ содержат $5$, $11$, $3$, $13$. $m=15$: $10,\ldots,14$ содержат $2$, $11$, $13$, $7$. $m=16$: $10,\ldots,15$ все содержат нечётные простые.

$m=18$: $18^4=2^4\cdot 3^8$, числа вида $2^x3^y$. Показатель двойки по четырём числам в сумме $4$. Без двоек только $27$ и $81$, с одной двойкой — только $18$ и $54$. Если $27$ и $81$ не взяты, у всех четырёх чисел по одной двойке — таких чисел только два. Если взято одно из них, у трёх других двойки $1,1,2$: это $18$, $54$ и $12$ или $36$, а троек тогда $2+3+(1\text{ или }2)+(3\text{ или }4)\ge 9\ne 8$. Если взяты оба, у двух оставшихся всего одна тройка и четыре двойки: одно из них без троек — степень двойки не меньше $16$, тогда у другого ни одной двойки и одна тройка, то есть это $3$ — не двузначное.

Итак, $m\ge 20$, и $20$ подходит: $10\cdot 16\cdot 20\cdot 50=160\,000=20^4$.

Пункт в. Произведение шести различных двузначных не меньше $10\cdot 11\cdot\ldots\cdot 15=3\,603\,600\gt 12^6=2\,985\,984$, значит, $m\ge 13$.

Пример для $24$. $12\cdot 16\cdot 18\cdot 24\cdot 32\cdot 72$: двоек $2+4+1+3+5+3=18$, троек $1+0+2+1+0+2=6$, то есть $2^{18}\cdot 3^6=(2^3\cdot 3)^6=24^6$.

Значения от 13 до 23 невозможны.

$13,17,19,23$ — простые: подходят только степени, а двузначная степень одна.

$16$: двузначные степени двойки — $16,32,64$, их три. $21$: из троек и семёрок — $21,27,49,63,81$, их пять. $22$: показатель $11$ должен быть $6$, а на $11$ делятся только $11,22,44,88$, каждое один раз.

$15$: подходят ровно $15,25,27,45,75,81$, но троек в их произведении $1+0+3+2+1+4=11\ne 6$.

$14$: подходят $14,16,28,32,49,56,64,98$; показатели двойки у них $1,4,2,5,0,3,6,1$, всего $22$. Шесть чисел должны дать $6$ двоек, значит, два выброшенных — $16$ двоек, а больше $6+5=11$ у двух чисел не бывает.

$20$: подходят $10,16,20,25,32,40,50,64,80$; двоек у них $1,4,2,0,5,3,1,6,4$ (всего $26$), пятёрок $1,0,1,2,0,1,2,0,1$ (всего $8$). Нужно $12$ двоек и $6$ пятёрок, то есть три выброшенных числа содержат $14$ двоек и $2$ пятёрки. $14$ двоек у трёх чисел — только $64,32,40$ или $64,16,80$, а пятёрок у них по $1$.

$18$: $18^6=2^6\cdot 3^{12}$. Без двоек только $27,81$, с одной двойкой только $18,54$. Шесть чисел дают $6$ двоек. Если взяты $27$ и $81$, у остальных четырёх двойки $1,1,2,2$ (вариант $1,1,1,3$ невозможен): это $18,54,12,36$, а троек тогда $3+4+2+3+1+2=15\ne 12$. Если взято одно из них — пять чисел с двойками $1,1,1,1,2$, а с одной двойкой чисел только два. Если ни одного — у всех шести по одной двойке, невозможно.

Значит, наименьшее целое среднее геометрическое шести различных двузначных чисел равно $24$.