Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043834

Число $\overline{abc}=100a+10b+c$, а произведение цифр $abc$ не равно нулю, значит, все три цифры от $1$ до $9$.

Пункт а. Возьмём число $144$. Произведение цифр $1\cdot 4\cdot 4=16$, а $9\cdot 16=144$. Число ровно в девять раз больше произведения цифр: да. (Подходит и $135$: $1\cdot3\cdot5=15$, $9\cdot15=135$.)

Пункт б. Предположим, что $100a+10b+c=2abc$.

Правая часть чётная, значит, и левая чётная. У числа $100a+10b+c$ чётность определяется последней цифрой, поэтому $c$ чётно.

Теперь оценка. Левая часть больше $100a$, значит, $2abc\gt 100a$. Делим на $2a\gt 0$: $bc\gt 50$.

Произведение двух цифр больше $50$ бывает только у пар из чисел $6,7,8,9$: $6\cdot 9=54$, $7\cdot 8=56$, $7\cdot 9=63$, $8\cdot 8=64$, $8\cdot 9=72$, $9\cdot 9=81$. С учётом чётности $c$ остаются пары $(b;c)$: $(9;6)$, $(7;8)$, $(8;8)$, $(9;8)$.

Подставим каждую в уравнение $100a+10b+c=2abc$:

$(9;6)$: $100a+96=108a$, $8a=96$, $a=12$ — не цифра;

$(7;8)$: $100a+78=112a$, $12a=78$, $a=6{,}5$ — не цифра;

$(8;8)$: $100a+88=128a$, $28a=88$ — $a$ не целое;

$(9;8)$: $100a+98=144a$, $44a=98$ — $a$ не целое.

Ни один случай не подходит, значит, нет.

Пункт в. Сравним число с произведением цифр по частям. Так как $b\ge 1$ и $c\ge 1$, имеем $100a\le 100\cdot abc$. Аналогично $10b\le 10\cdot abc$ и $c\le abc$. Складываем:

$$100a+10b+c\le 111\cdot abc,\qquad \dfrac{\overline{abc}}{abc}\le 111.$$

Равенство достигается, когда во всех трёх неравенствах равенство, то есть при $a=b=c=1$: число $111$, произведение $1$, отношение $111$.

Значит, наибольшее отношение равно $111$.