Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043852

Если $A=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_s^{a_s}$ — разложение на простые множители, то каждый делитель имеет вид $p_1^{x_1}\ldots p_s^{x_s}$, где $x_1$ можно выбрать $a_1+1$ способом (от $0$ до $a_1$), $x_2$ — $a_2+1$ способом и т. д. Поэтому

$$k=(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_s+1).$$

Пункт а. $729=3^6$: делителей $6+1=7$ ($1,3,9,27,81,243,729$). Итак, да.

Пункт б. $25=5\cdot 5$ или $25=25$. Значит, $A=p^{24}$ или $A=p^4q^4$. Наименьшие такие числа $2^{24}$ и $2^4\cdot 3^4=1296$ — оба больше $999$. Итак, нет.

Пункт в. Число $840=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ имеет $4\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$ делителя. Покажем, что больше не бывает. Разберём случаи по числу $s$ различных простых делителей $A$.

$s\ge 5$: $A\ge 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$ — не трёхзначное.

$s=1$: $A=p^a\ge 2^a$, $a\le 9$, $k\le 10$.

$s=2$: $A=p^aq^b$, пусть $a\ge b\ge 1$; тогда $A\ge 2^a3^b$. При $b=1$: $2^a\le 333$, $a\le 8$, $k\le 9\cdot 2=18$. При $b=2$: $2^a\le 111$, $a\le 6$, $k\le 7\cdot 3=21$. При $b=3$: $2^a\le 37$, $a\le 5$, $k\le 6\cdot 4=24$. При $b\ge 4$: $A\ge 2^4\cdot 3^4\gt 999$. Итак, $k\le 24$.

$s=3$: $A=p^aq^br^c$, $a\ge b\ge c\ge 1$, $A\ge 2^a3^b5^c$. При $c=1$: $2^a3^b\le 199$; если $b=1$, то $a\le 6$ и $k\le 7\cdot 2\cdot 2=28$; если $b=2$, то $a\le 4$ и $k\le 5\cdot 3\cdot 2=30$; при $b\ge 3$ нужно $2^a\le 7$, $a\le 2\lt b$ — невозможно. При $c=2$: $2^a3^b\le 39$, $b\ge 2$, $a\le 2$, $k\le 27$. При $c\ge 3$: $A\ge 30^3$. Итак, $k\le 30$.

$s=4$: $A=p_1p_2p_3p_4\cdot t$, где $p_1p_2p_3p_4\ge 210$, поэтому $t\le 4$. Если $t=1$, $k=16$. Если $t$ простое ($2$ или $3$), один показатель равен $2$: $k=3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24$. Если $t=4$, то $A=2^3\cdot p_2p_3p_4$ (показатель двойки $3$, $k=32$) или $A$ содержит $p^2q^2$ — тогда $A\ge 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=1260$. Итак, $k\le 32$.

Наибольшее $k=32$.