Global EE

Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00042502

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Числа и их свойства

№2. Задание 20

ID: 00042502

Для натурального числа $n$ рассмотрим выражение $P(n)=n+s(n)+2s\big(s(n)\big)$, где $s(m)$ — сумма цифр натурального числа $m$ (например, $P(999)=999+27+18=1044$).

а) Может ли $P(n)$ равняться 221 при некотором $n$?

б) Может ли $P(n)$ равняться 197 при некотором $n$?

в) Найдите все натуральные $n$, для которых $P(n)=2024$.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Обозначу $s=s(n)$ и $t=s(s)$. Тогда $n=P(n)-s-2t$: зная $P(n)$ и перебирая возможные $s$, получаю кандидата $n$, а затем проверяю, что его сумма цифр действительно равна $s$.

Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9. Поэтому $n\equiv s(n)\equiv s\big(s(n)\big)\pmod 9$ и $P(n)\equiv n+n+2n=4n\pmod9$.

Пункт а. $n=188$: $s=17$, $t=s(17)=8$, $P(188)=188+17+16=221$. Итак, да.

Пункт б. $n=182$: $s=1+8+2=11$, $t=s(11)=2$, $P(182)=182+11+4=197$. Итак, да.

(Так и находится: при $s=11$, $t=2$ кандидат $n=197-11-4=182$, и его сумма цифр действительно 11.)

Пункт в. $n\lt2024$, поэтому $s\le28$ (у $1999$), $t\le10$, и $n\ge2024-48=1976$.

По модулю 9: $2024\equiv8$, $4n\equiv8$, $n\equiv2\pmod9$. Кандидаты от 1976 до 2023: $1982,\ 1991,\ 2000,\ 2009,\ 2018$.

$P(1982)=1982+20+4=2006$; $P(1991)=1991+20+4=2015$; $P(2000)=2000+2+4=2006$.

$P(2009)=2009+11+2\cdot2=2024$; $P(2018)=2018+11+4=2033$.

Подходит только $n=2009$.

Ответ

а) да; б) да; в) $2009$

Другие задания по теме «Числа и их свойства» (8)