Задание 20 ЕГЭ по математике №00043857

Пусть в первом наборе $x$ чисел по $175$, во втором $y$ чисел по $80$. Среднее $145$:

$$175x+80y=145(x+y)\quad\Leftrightarrow\quad 30x=65y\quad\Leftrightarrow\quad 6x=13y.$$

Значит, $x=13t$, $y=6t$, всего $19t$ чисел.

Пункт а. Уменьшение первого набора на $n$ уменьшает сумму на $13tn$, среднее становится $145-\dfrac{13n}{19}$. Из $145-\dfrac{13n}{19}=132$ получаем $13n=247$, $n=19$. Проверка при $t=1$: $13\cdot 156+6\cdot 80=2028+480=2508=132\cdot 19$. Итак, да.

Пункт б. $145-\dfrac{13m}{19}=135$ даёт $13m=190$, а $190$ на $13$ не делится. Итак, нет.

Пункт в. Изменение среднего равно $\dfrac{k(13t-6t)}{19t}=\dfrac{7k}{19}$ — со знаком «плюс», если первый набор увеличили, и «минус», если уменьшили. Оно не зависит от $t$. Среднее целое, только если $19$ делит $7k$, то есть $k$ кратно $19$.

1) Первый увеличили, второй уменьшили: $80-k\gt 0$, $k\le 79$, $k=19,38,57,76$. Средние $145+7\cdot 1=152$, $159$, $166$, $173$.

2) Первый уменьшили, второй увеличили: $175-k\gt 0$, $k\le 174$, $k=19j$ при $j=1,\ldots,9$ ($19\cdot 9=171$). Средние $145-7j$: $138,\ 131,\ 124,\ 117,\ 110,\ 103,\ 96,\ 89,\ 82$.

Всего целых значений: $82,89,96,103,110,117,124,131,138,152,159,166,173$.