Задание 20 ЕГЭ по математике №00043856

Пусть в первом наборе $x$ чисел (все равны $150$), во втором $y$ чисел (все равны $50$). Среднее равно $78$:

$$150x+50y=78(x+y)\quad\Leftrightarrow\quad 72x=28y\quad\Leftrightarrow\quad 18x=7y.$$

Так как $18$ и $7$ взаимно просты, $x=7t$, $y=18t$ для натурального $t$, всего чисел $25t$.

Пункт а. Сумма уменьшается на $n\cdot 7t$, новое среднее $78-\dfrac{7tn}{25t}=78-\dfrac{7n}{25}$. Равенство $78-\dfrac{7n}{25}=71$ даёт $7n=175$, $n=25$ — натуральное. Например, $7$ чисел по $150-25=125$ и $18$ чисел по $50$: сумма $875+900=1775=71\cdot 25$. Итак, да.

Пункт б. $78-\dfrac{7m}{25}=70$ даёт $7m=200$, но $200$ на $7$ не делится. Итак, нет.

Пункт в. Два случая.

1) Первый набор увеличили на $k$, второй уменьшили. Сумма меняется на $7tk-18tk=-11tk$, среднее равно $78-\dfrac{11k}{25}$. Числа второго набора $50-k\gt 0$, то есть $k\le 49$. Среднее целое, только если $25$ делит $11k$, то есть $k$ кратно $25$: $k=25$, среднее $78-11=67$.

2) Первый уменьшили, второй увеличили. Среднее $78+\dfrac{11k}{25}$, числа первого набора $150-k\gt 0$, $k\le 149$. Подходят $k=25,50,75,100,125$, средние $89,\ 100,\ 111,\ 122,\ 133$.

Итак, целые значения среднего: $67,\ 89,\ 100,\ 111,\ 122,\ 133$.