Задание 20 ЕГЭ по математике №00043848

Однозначное число $x$ превращается в двузначное $\overline{xx}=11x$. Двузначное $\overline{ab}=10a+b$ превращается в $\dfrac{a+b}{2}$. Все цифры нечётные, поэтому $a+b$ чётно и среднее — целое число.

Пункт а. Набор $3,\ 11,\ 19$. Первая сумма $3+11+19=33$. Второй набор: $33$, $\dfrac{1+1}{2}=1$, $\dfrac{1+9}{2}=5$, его сумма $33+1+5=39$. Первая сумма на $6$ меньше второй: да.

Пункт б. Набор $3,\ 71$. Первая сумма $74$. Второй набор: $33$ и $\dfrac{7+1}{2}=4$, сумма $37$. И $74=2\cdot 37$: да.

Пункт в. Однозначных и двузначных чисел поровну, поэтому их можно разбить на пары «однозначное $x$ + двузначное $\overline{ab}$». Покажем, что в каждой паре вклад во вторую сумму не больше пятикратного вклада в первую:

$$11x+\dfrac{a+b}{2}\le 5(x+10a+b).$$

Перенесём всё в одну сторону: это равносильно $6x\le 50a+5b-\dfrac{a+b}{2}=49{,}5a+4{,}5b$.

Так как $x\le 9$, левая часть не больше $54$. Так как $a\ge 1$ и $b\ge 1$, правая не меньше $49{,}5+4{,}5=54$. Неравенство верно.

Сложив неравенства по всем парам, получаем: вторая сумма не больше пятикратной первой, то есть отношение не больше $5$.

Равенство в паре возможно только при $x=9$, $a=b=1$, то есть для пары $9$ и $11$. Такая пара может быть только одна (числа различны), и набор из неё подходит: первая сумма $9+11=20$, вторая $99+1=100$, отношение $\dfrac{100}{20}=5$.

Наибольшее отношение равно $5$.