Задание 20 ЕГЭ по математике №00043849

Однозначное число $x$ во втором наборе становится $\overline{xx}=11x$, двузначное $\overline{ab}=10a+b$ — числом $\dfrac{a+b}{2}$ (оно целое: обе цифры нечётные, их сумма чётная).

Пункт а. Набор $1,\ 11,\ 17$. Первая сумма $1+11+17=29$. Второй набор: $11$, $\dfrac{1+1}{2}=1$, $\dfrac{1+7}{2}=4$, сумма $16$. Разница $29-16=13$: да.

Пункт б. Набор $7,\ 33$. Первая сумма $40$. Второй набор: $77$ и $\dfrac{3+3}{2}=3$, сумма $80=2\cdot 40$: да.

Пункт в. Однозначных и двузначных чисел поровну — разобьём их на пары «$x$ и $\overline{ab}$». Сначала найдём лучшую пару.

Отношение для пары $\dfrac{x+10a+b}{11x+\frac{a+b}{2}}$. Увеличение $x$ на $2$ добавляет к числителю $2$, а к знаменателю $22$ — это невыгодно, поэтому берём $x=1$. Тогда отношение $\dfrac{2(10a+b+1)}{22+a+b}$. При $a=9$ получаем $\dfrac{2(91+b)}{31+b}$; оно убывает с ростом $b$ (числитель растёт на $2$ при росте знаменателя на $1$, а $2\lt\dfrac{2\cdot 92}{32}$), поэтому лучшее $b=1$: пара $1$ и $91$ даёт $\dfrac{92}{16}=\dfrac{23}{4}=5{,}75$.

Оценка. Докажем, что в любой паре $x+10a+b\le\dfrac{23}{4}\left(11x+\dfrac{a+b}{2}\right)$. Умножим на $8$:

$$8x+80a+8b\le 506x+23a+23b\quad\Leftrightarrow\quad 57a\le 498x+15b.$$

Так как $a\le 9$, левая часть не больше $513$; так как $x\ge 1$, $b\ge 1$, правая не меньше $498+15=513$. Неравенство верно.

Сложив такие неравенства по всем парам, получаем: первая сумма не больше $\dfrac{23}{4}$ второй. Набор $1,\ 91$ (одно однозначное и одно двузначное) это значение даёт: $\dfrac{1+91}{11+5}=\dfrac{92}{16}=5{,}75$.

Наибольшее отношение равно $5{,}75$.