Задание 20 ЕГЭ по математике №00043842

«Ровно две отметки» значит, что число делится ровно на два из чисел $3$, $4$, $5$. Числа $3$, $4$, $5$ попарно взаимно простые, поэтому получаются три вида чисел:

— красная и синяя: делится на $12$, но не на $5$;

— красная и зелёная: делится на $15$, но не на $4$;

— синяя и зелёная: делится на $20$, но не на $3$.

Число, кратное $60$, получило бы три отметки, поэтому таких чисел на карточках нет. Виды не пересекаются.

Пункт а. Посчитаем подходящие числа меньше $200$. Кратных $60$ среди них три: $60$, $120$, $180$.

Кратных $12$: $12,24,\ldots,192$ — их $16$; без кратных $60$ остаётся $13$.

Кратных $15$: $15,30,\ldots,195$ — их $13$; без $60,120,180$ остаётся $10$.

Кратных $20$: $20,40,\ldots,180$ — их $9$; без кратных $60$ остаётся $6$.

Всего $13+10+6=29$ подходящих чисел меньше $200$, поэтому карточек с такими числами не больше $29$. И $29$ достигается: пишем на карточках все эти $29$ чисел и ещё $31$ подходящее число, большее $200$ (например, кратные $12$, но не $5$, от $204$ и дальше).

Пункт б. На $20$ карточках числа вида «делится на $20$, не делится на $3$», то есть $20k$, где $k$ не кратно $3$. Среди $k=1,\ldots,29$ кратных трём девять, остальных ровно $20$, и самое большое из них $k=29$. Значит, двадцать различных таких чисел не могут все быть меньше $20\cdot 29=580$: наибольшее число не меньше $580$.

Пример: синие с зелёными — $20k$ при $k\le 29$, не кратных $3$ (наибольшее $580$); красные с синими — $12k$ при $k\le 24$, не кратных $5$ (их $20$, наибольшее $288$); красные с зелёными — $15k$ при $k\le 26$, не кратных $4$ (их $20$, наибольшее $390$). Все $60$ чисел различны, наибольшее $580$.

Пункт в. Синяя отметка бывает у чисел первого и третьего видов. Пусть наибольшее число на карточках равно $M$. Тогда все $45$ «синих» чисел не больше $M$.

Посчитаем, сколько таких чисел не больше $443$. Кратных $12$: $\left[\dfrac{443}{12}\right]=36$, из них кратных $60$: $7$ — остаётся $29$. Кратных $20$: $\left[\dfrac{443}{20}\right]=22$, без кратных $60$ — $15$. Всего $29+15=44\lt 45$. Значит, $M\ge 444$.

Пример с $M=444$: все числа вида $12k$ до $444$, не кратные $5$ (их $37-7=30$, наибольшее $444=12\cdot 37$); все числа вида $20k$ до $444$, не кратные $3$ (их $22-7=15$). Это $45$ синих карточек. Ещё $15$ карточек — красные с зелёными: $15k$ при $k=1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19$ (наибольшее $285$).

Наибольшее число $444$.