Задание 20 ЕГЭ по математике №00043843

Число получает красную отметку, если делится на $3$, синюю — на $4$, зелёную — на $5$. «Не менее двух отметок» — делится хотя бы на два из этих чисел. Получаются четыре непересекающихся вида:

— только красная и синяя: кратно $12$, не кратно $5$;

— только красная и зелёная: кратно $15$, не кратно $4$;

— только синяя и зелёная: кратно $20$, не кратно $3$;

— все три отметки: кратно $60$.

Пункт а. Числа меньше $200$: кратных $12$ — $16$, кратных $15$ — $13$, кратных $20$ — $9$, кратных $60$ — $3$ ($60,120,180$).

Только красная и синяя: $16-3=13$; только красная и зелёная: $13-3=10$; только синяя и зелёная: $9-3=6$; три отметки: $3$. Всего $13+10+6+3=32$.

Больше $32$ карточек с числами меньше $200$ быть не может, а $32$ получается: берём все эти числа и ещё $28$ подходящих чисел больше $200$.

Пункт б. По $k$ карточек каждого «парного» вида, остальные $60-3k$ карточек — с тремя отметками, то есть кратные $60$. Пусть наибольшее число $M$.

Чисел «кратно $20$, не кратно $3$», не больших $M$, ровно $A=\left[\dfrac{M}{20}\right]-\left[\dfrac{M}{60}\right]$, а кратных $60$ — $D=\left[\dfrac{M}{60}\right]$. Нужно $k\le A$ и $60-3k\le D$, откуда $60\le 3k+D\le 3A+D$.

При $M=519$: $A=25-8=17$, $D=8$, $3A+D=59\lt 60$. При меньших $M$ величины $A$ и $D$ не больше, значит, $M\ge 520$.

Пример с $M=520$: $k=18$. Только синяя и зелёная — $20k'$ при $k'\le 26$, не кратных $3$ (их $26-8=18$, наибольшее $520$). Только красная и синяя — первые $18$ чисел вида $12k'$ с $k'$, не кратным $5$ (наибольшее $12\cdot 22=264$). Только красная и зелёная — первые $18$ чисел вида $15k'$ с $k'$, не кратным $4$ (наибольшее $15\cdot 23=345$). Три отметки — $60-54=6$ карточек: $60,120,\ldots,360$. Наибольшее число $520$.

Пункт в. «Две отметки, одна из которых синяя» — это виды «только красная и синяя» и «только синяя и зелёная». Карточки с тремя отметками сюда не входят.

Пусть наибольшее число $M$. Таких чисел, не больших $M$:

$$g(M)=\left[\dfrac{M}{12}\right]+\left[\dfrac{M}{20}\right]-2\left[\dfrac{M}{60}\right].$$

$g(371)=30+18-12=36\lt 37$, значит, $M\ge 372$.

Пример с $M=372$: $g(372)=31+18-12=37$ — берём все эти числа. Остальные $23$ карточки: числа «только красная и зелёная» до $372$ (их $24-6=18$) и $5$ кратных $60$ ($60,\ldots,300$). Всего $37+18+5=60$, наибольшее $372=12\cdot 31$.