Задание 20 ЕГЭ по математике №00043839

Коля написал $15$ различных натуральных чисел меньше $5000$, Петя — их квадраты.

Остатки при делении на 3. Сумма любых трёх Петиных чисел делится на $3$. Если взять тройки $p,r,s$ и $q,r,s$, то разность их сумм $p-q$ делится на $3$. Значит, все Петины числа имеют один и тот же остаток.

Число $2401$ даёт остаток $1$ ($2401=3\cdot 800+1$). Если его написал Петя, Петины числа дают остаток $1$. Если Коля, то у Пети есть $2401^2$ — тоже с остатком $1$. В любом случае все квадраты дают остаток $1$.

Квадрат числа, кратного $3$, делится на $3$, а квадрат числа, не кратного $3$, даёт остаток $1$. Поэтому все Колины числа не делятся на $3$. Обратно: если Колины числа не кратны $3$, сумма трёх квадратов даёт остаток $1+1+1=3$ — делится на $3$, условие выполнено.

Пункт а. $10\,816=104^2$, $104$ на $3$ не делится и меньше $5000$. Пусть Коля написал $49$, $104$ и ещё $13$ чисел, не кратных $3$: $1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19$. На доске есть $2401=49^2$ и $10\,816=104^2$: да.

Пункт б. $40\,401\gt 5000$, поэтому это Петино число, квадрат Колиного: $40\,401=201^2$. Но $201=3\cdot 67$ делится на $3$ — противоречие: нет.

Пункт в. Пара одинаковых чисел — это Колино число, равное квадрату другого Колиного числа (или $1=1^2$). Пусть пар $p$: у них $p$ оснований и $p$ квадратов, и всё это Колины числа.

Основание $y$ должно удовлетворять $y^2\lt 5000$, то есть $y\le 70$. Число может быть одновременно основанием одной пары и квадратом в другой, только если это точный квадрат не больше $70$ и не кратный $3$: $1$, $4$, $16$, $25$, $49$, $64$ — не больше шести таких чисел ($9$ и $36$ кратны $3$).

Значит, Колиных чисел не меньше $2p-6$. Получаем $2p-6\le 15$, $p\le 10{,}5$, то есть $p\le 10$.

Пример на 10 пар. Коля пишет

$$1,\ 2,\ 4,\ 16,\ 256,\ 5,\ 25,\ 625,\ 7,\ 49,\ 2401,\ 8,\ 64,\ 4096,\ 10.$$

Это $15$ чисел, все меньше $5000$ и не кратны $3$, число $2401$ есть. Совпадения: $1=1^2$, $4=2^2$, $16=4^2$, $256=16^2$, $25=5^2$, $625=25^2$, $49=7^2$, $2401=49^2$, $64=8^2$, $4096=64^2$ — ровно $10$ пар.