Задание 20 ЕГЭ по математике №00043838

На доске два вида чисел: $20$ Колиных (различные, меньше $1000$) и $20$ Петиных — их квадратов.

Что значит «среднее любых трёх Петиных чисел — целое». Это значит, что сумма любых трёх Петиных чисел делится на $3$.

Возьмём любые два Петиных числа $p$ и $q$ и ещё два других $r$, $s$. Суммы $p+r+s$ и $q+r+s$ делятся на $3$, значит, и их разность $p-q$ делится на $3$. Итак, все Петины числа дают одинаковый остаток при делении на $3$.

Квадрат при делении на $3$ даёт остаток $0$ (если основание кратно $3$) или $1$ (если нет): $(3m\pm1)^2=9m^2\pm 6m+1$.

Число $625$ даёт остаток $1$ ($625=3\cdot 208+1$). Если его написал Петя — у Петиных чисел остаток $1$. Если Коля — то Петя написал $625^2$, у которого тоже остаток $1$. В любом случае все Петины числа дают остаток $1$, то есть ни одно Колино число не делится на $3$. И наоборот, если Колины числа не делятся на $3$, сумма любых трёх квадратов даёт остаток $1+1+1=3$, то есть делится на $3$ — условие выполнено.

Пункт а. $10\,816=104^2$, и $104$ на $3$ не делится. Пусть Коля написал $25$, $104$ и ещё $18$ чисел, не кратных $3$: $1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,26,28$. Тогда на доске есть $625=25^2$ и $10\,816=104^2$, и все условия выполнены: да.

Пункт б. $93\,636\gt 1000$, поэтому Коля его написать не мог. Если его написал Петя, то это квадрат Колиного числа: $93\,636=306^2$, а $306=3\cdot 102$ делится на $3$. Это противоречит доказанному: нет.

Пункт в. Пары одинаковых чисел — это совпадения Колиного числа с Петиным, то есть случаи, когда Колино число $x$ равно квадрату Колиного числа $y$ (Колины числа различны между собой, Петины тоже).

Пусть таких пар $p$. Обозначим множество «оснований» $Y$ (их $p$ штук) и множество «квадратов» $Y^2$ (тоже $p$ штук). Все они — Колины числа.

Основание $y$ удовлетворяет $y^2\lt 1000$, то есть $y\le 31$. Одно Колино число может быть и основанием, и квадратом одновременно, только если оно — точный квадрат не больше $31$ и не кратный $3$: это $1$, $4$, $16$, $25$ ($9$ кратно $3$). Таких чисел не больше четырёх.

Значит, Колиных чисел не меньше $p+p-4=2p-4$. Так как их $20$, получаем $2p-4\le 20$, $p\le 12$.

Пример на 12 пар. Коля пишет числа

$$1,\ 2,\ 4,\ 16,\ 256,\ 5,\ 25,\ 625,\ 7,\ 49,\ 8,\ 64,\ 10,\ 100,\ 11,\ 121,\ 13,\ 169,\ 14,\ 196.$$

Их $20$, все меньше $1000$ и не кратны $3$, число $625$ есть. Совпадения с Петиными: $1=1^2$, $4=2^2$, $16=4^2$, $256=16^2$, $25=5^2$, $625=25^2$, $49=7^2$, $64=8^2$, $100=10^2$, $121=11^2$, $169=13^2$, $196=14^2$ — ровно $12$ пар.