Задание 20 ЕГЭ по математике №00043837

Обозначим числа $x$, $y$, $z$, сумму цифр числа $n$ — $S(n)$. По условию $y=4S(x)$ и $z=4S(y)$.

Пункт а. Возьмём $x=1941$. Сумма цифр $1+9+4+1=15$, значит, $y=60$. Сумма цифр $60$ равна $6$, значит, $z=24$. Сумма $1941+60+24=2025$, все три числа различны: да.

Здесь важно «различные»: например, тройка $2001,\ 12,\ 12$ тоже даёт $2025$, но в ней второе и третье числа совпадают, и она не годится.

Пункт б. Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $3$. Умножение на $4$ остаток при делении на $3$ не меняет, потому что $4=3+1$. Значит, $y=4S(x)$ даёт тот же остаток, что и $x$, а $z=4S(y)$ — тот же, что и $y$, то есть тоже как у $x$.

Тогда сумма $x+y+z$ даёт тот же остаток, что и $3x$, — делится на $3$.

Число $2026=3\cdot 675+1$ на $3$ не делится. Итак, нет.

Пункт в. Если $z=16$, то $S(y)=4$. Число $y=4S(x)$ кратно $4$, а сумма цифр четырёхзначного $x$ не больше $36$, поэтому $y\le 144$.

Кратные $4$ числа до $144$ с суммой цифр $4$: $4$, $40$, $112$. (Проверим остальные числа с суммой цифр $4$: $13$, $22$, $31$, $103$, $121$, $130$ на $4$ не делятся.)

Значит, $S(x)=1$, $10$ или $28$. Числа в тройке при этом различны ($y\ne 16$). Считаем четырёхзначные числа с такими суммами цифр.

Сумма 1. Одно число: $1000$.

Сумма 10. Пусть цифры $a,b,c,d$, $a\ge 1$. Положим $a'=a-1$, тогда $a'+b+c+d=9$. Число раскладок девяти в сумму четырёх неотрицательных слагаемых равно $\mathrm{C}_{12}^{3}=220$ (расставляем $3$ перегородки среди $9$ единиц). Из них не годится одна: $a'=9$, то есть $a=10$. Итого $219$.

Сумма 28. Удобнее считать «недостачу до девяти»: $a^*=9-a$, $b^*=9-b$, $c^*=9-c$, $d^*=9-d$. Тогда $a^*+b^*+c^*+d^*=36-28=8$, где $a^*\le 8$, остальные $\le 9$ — при сумме $8$ эти ограничения выполняются сами. Число раскладок $\mathrm{C}_{11}^{3}=165$.

Всего $1+219+165=385$ чисел.