Global EE

Задание 20 ЕГЭ по математике №00043844

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Задачи с историей

№2. Задание 20

ID: 00043844

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10a + 4b + c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-2 — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

– $a_1 \gt a_2$,

– $a_1 = a_2$ и $b_1 \gt b_2$,

– $a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$ и $c_1 \gt c_2$.

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?

в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться $10a + k_1 b + k_2 c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_1$ и $k_2$, такие, что $1 \le k_2 \lt k_1 \le 9$. Найдите все пары $(k_1; k_2)$, при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q$.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

На каждом из $10$ этапов разыгрываются одно первое, одно второе и одно третье место. Поэтому за год всех первых мест ровно $10$, вторых $10$ и третьих $10$, а сумма очков всех спортсменов равна $10\cdot(10+4+1)=150$.

Пункт а. Приведём пример. Спортсменам С1–С10 достались места (первые; вторые; третьи) и очки:

С1: $(0;0;0)$ — $0$; С2: $(0;3;0)$ — $12$; С3: $(1;0;3)$ — $13$; С4: $(1;1;0)$ — $14$; С5: $(1;1;1)$ — $15$; С6: $(1;1;2)$ — $16$; С7: $(1;1;3)$ — $17$; С8: $(1;2;0)$ — $18$; С9: $(2;0;0)$ — $20$; С10: $(2;1;1)$ — $25$.

Всего первых мест $0+0+1+1+1+1+1+1+2+2=10$, вторых $3+1+1+1+1+2+1=10$, третьих $3+1+2+3+1=10$. Распределение по этапам:

Этап

1-е место

2-е место

3-е место

1

С3

С2

С5

2

С4

С2

С3

3

С5

С2

С3

4

С6

С4

С3

5

С7

С5

С6

6

С8

С6

С7

7

С9

С7

С10

8

С9

С10

С6

9

С10

С8

С7

10

С10

С8

С7

Очки все разные и растут от С1 к С10. По правилам прошлого года С1 (без мест) ниже всех; С2 (нет первых) ниже С3–С10; у С3–С8 по одному первому месту, и порядок задают пары (вторые; третьи): $(0;3)$ у С3, $(1;0)$, $(1;1)$, $(1;2)$, $(1;3)$ у С4–С7 и $(2;0)$ у С8 — они идут по возрастанию; С9 и С10 с двумя первыми — выше остальных, и С10 выше С9. Итак, порядок прошлого года тоже С1, С2, …, С10, совпадений нет. Итак, да.

Пункт б. Пусть очки $p_1\lt p_2\lt\ldots\lt p_{10}$. Восемь чисел $p_3,\ldots,p_{10}$ различны и больше $p_2$, поэтому $p_3+\ldots+p_{10}\ge 8p_2+(1+2+\ldots+8)=8p_2+36$. Тогда

$$150=p_1+p_2+\ldots+p_{10}\ge 0+p_2+8p_2+36=9p_2+36,$$

откуда $p_2\le 12{,}6$, то есть $p_2\le 12$. Разница $p_2-p_1\le p_2\le 12$.

Пример из пункта а даёт два наименьших результата $0$ и $12$ — разница $12$.

Пункт в. На каждом этапе раздаётся $10+k_1+k_2$ очков, за год — $10s$, где $s=10+k_1+k_2$. Из $1\le k_2\lt k_1\le 9$ следует $3\le k_1+k_2\le 17$, то есть $13\le s\le 27$.

Пусть очки набрали $m$ спортсменов. На каждом этапе очки получают трое (за третье место $k_2\ge 1$ очко), поэтому $3\le m\le 10$, и любое такое $m$ возможно (места можно раздавать только $m$ спортсменам по кругу). Средний балл $Q=\dfrac{10s}{m}$ — целый, когда $m$ делит $10s$.

Значения $m=5$ и $m=10$ подходят всегда. Остальные: $3$ и $6$ — когда $s$ кратно $3$; $9$ — когда $s$ кратно $9$; $4$ — когда $s$ чётно; $8$ — когда $s$ кратно $4$; $7$ — когда $s$ кратно $7$.

Пройдём по $s$ от $13$ до $27$: число подходящих $m$ равно $6$ при $s=18$ ($3,4,5,6,9,10$) и при $s=24$ ($3,4,5,6,8,10$); при $s=21$ и $s=27$ — $5$; у остальных $s$ — не больше $4$. Больше шести не бывает: чтобы подошли и $7$, и $3$, нужно $s$ кратное $21$ — это $s=21$, а оно нечётное.

$s=18$: $k_1+k_2=8$ — пары $(7;1)$, $(6;2)$, $(5;3)$. $s=24$: $k_1+k_2=14$ — пары $(9;5)$, $(8;6)$.

Ответ

а) да; б) $12$; в) $(7;\,1)$, $(6;\,2)$, $(5;\,3)$, $(9;\,5)$, $(8;\,6)$

Другие задания по теме «Задачи с историей» (8)