Задание 20 ЕГЭ по математике №00043841

Пусть $E$ — сумма очков, выпавших на чётных бросках (они двигают фишку вправо), $O$ — сумма очков на нечётных бросках (влево). Итоговая отметка равна $E-O$.

Пункт а. Пусть $30$ раз выпала единица ($O=30$) и $15$ раз двойка ($E=30$). Всего $45$ бросков, отметка $30-30=0$: да.

Пункт б. Чётных и нечётных бросков по $n$.

Оценка. $E\ge 2n$ (каждое чётное очко не меньше $2$), $O\le 5n$ (каждое нечётное не больше $5$), поэтому $E-O\ge -3n$. Для отметки $-35$ нужно $3n\ge 35$, $n\ge 12$.

Чётность. $E$ чётно, а $O$ — сумма $n$ нечётных чисел, её чётность как у $n$. Отметка $-35$ нечётная, значит, $O$ нечётно и $n$ нечётно. Поэтому $n\ge 13$ и бросков не меньше $26$.

Пример. $13$ раз двойка ($E=26$); среди $13$ нечётных $11$ пятёрок и $2$ тройки ($O=55+6=61$). Отметка $26-61=-35$ за $26$ бросков.

Пункт в. Пусть грань $i$ выпала $c_i$ раз, все $c_i\ge 1$ различны и $c_2+c_4+c_6=c_1+c_3+c_5=n$. Подставим $c_2=n-c_4-c_6$, $c_5=n-c_1-c_3$:

$$E=2n+2c_4+4c_6,\qquad O=5n-4c_1-2c_3,\qquad E-O=-3n+4c_1+4c_6+2c_3+2c_4.$$

Четыре различных натуральных числа $c_1,c_6,c_3,c_4$ дают $4c_1+4c_6+2c_3+2c_4\ge 4(1+2)+2(3+4)=26$ (меньшие значения выгодно ставить при большем коэффициенте). Значит, $E-O\ge -3n+26$.

Для отметки $-42$ нужно $3n\ge 68$, то есть $n\ge 23$. Отметка $-42$ чётная, значит, $n$ чётно и $n\ge 24$, бросков не меньше $48$.

Пример. $c_1=1$, $c_3=2$, $c_5=21$ (нечётных $24$); $c_2=16$, $c_4=5$, $c_6=3$ (чётных $24$). Все количества различны. $E=32+20+18=70$, $O=1+6+105=112$, отметка $70-112=-42$ за $48$ бросков.