Задание 20 ЕГЭ по математике №00043840

Чётные очки ($2,4,6$) двигают фишку вправо, нечётные ($1,3,5$) — влево. Поэтому итоговая отметка равна $E-O$, где $E$ — сумма очков чётных бросков, $O$ — сумма очков нечётных.

Пункт а. Пусть $10$ раз выпало $2$ ($E=20$), $15$ раз выпало $3$ и $5$ раз выпало $5$ ($O=45+25=70$). Всего $10+15+5=30$ бросков, отметка $20-70=-50$: да.

Пункт б. Пусть чётных и нечётных бросков по $n$, всего $2n$.

Оценка. Каждый чётный бросок даёт не меньше $2$, поэтому $E\ge 2n$. Каждый нечётный — не больше $5$, поэтому $O\le 5n$. Значит, $E-O\ge 2n-5n=-3n$. Чтобы попасть в $-50$, нужно $-3n\le -50$, то есть $n\ge 17$.

Чётность. $E$ — сумма чётных чисел, она чётна. $O$ — сумма $n$ нечётных чисел, её чётность совпадает с чётностью $n$. Отметка $-50$ чётная, значит, $O$ чётно и $n$ чётно. Поэтому $n\ge 18$, бросков не меньше $36$.

Пример. $18$ раз выпало $2$ ($E=36$); из $18$ нечётных $16$ раз $5$ и $2$ раза $3$ ($O=80+6=86$). Отметка $36-86=-50$, бросков $36$.

Пункт в. Пусть грань $i$ выпала $c_i$ раз, все $c_i\ge 1$ и попарно различны, $c_2+c_4+c_6=c_1+c_3+c_5=n$.

Выразим $c_2=n-c_4-c_6$ и $c_5=n-c_1-c_3$. Тогда

$$E=2c_2+4c_4+6c_6=2n+2c_4+4c_6,\qquad O=c_1+3c_3+5c_5=5n-4c_1-2c_3,$$

$$E-O=-3n+4c_1+4c_6+2c_3+2c_4.$$

Числа $c_1,c_3,c_4,c_6$ — четыре различных натуральных числа. Сумма $4c_1+4c_6+2c_3+2c_4$ наименьшая, когда меньшие из них стоят при коэффициенте $4$: она не меньше $4(1+2)+2(3+4)=26$. Значит, $E-O\ge -3n+26$.

Нужно $-57\ge -3n+26$, то есть $3n\ge 83$, $n\ge 28$. Кроме того, $-57$ нечётно, а чётность отметки совпадает с чётностью $n$ (как в пункте б). Значит, $n$ нечётно и $n\ge 29$, бросков не меньше $58$.

Пример. $c_1=1$, $c_3=2$, $c_5=26$ (нечётных $29$); $c_2=21$, $c_4=5$, $c_6=3$ (чётных $29$). Все шесть количеств различны. $E=42+20+18=80$, $O=1+6+130=137$, отметка $80-137=-57$. Бросков $58$.